2021年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目代码：2101  科目名称：应用数学基础

一、考试要求

主要考查学生对现代数学中泛函分析及矩阵代数基本概念的理解与掌握，具体包括考查学生对赋范线性空间、Banach空间、Hilbert空间、Lebesgue积分、矩阵范数、矩阵分解等基本概念的理解与掌握；以及对开映射、闭图像、共鸣定理、矩阵范数的哈达玛定理等重要定理和结论的运用，分析解决相关问题的能力。

二、考试内容

1．赋范线性空间

度量和度量空间的概念及性质；赋范线性空间的定义、性质；典型赋范线性空间的性质；赋范线性空间的完备化、Banach空间的定义及性质，典型Banach空间的性质；内积和内积空间的定义及基本性质、Hilbert空间的概念及性质、标准正交基和Schmit正交化方法、Riesz引理及最佳平方逼近，矩阵分析与计算的基本理论与方法，相似变换、向量范数和矩阵范数、矩阵级数和矩阵函数、矩阵分解的性质和相关应用。

2．有界线性算子

算子范数、有界线性算子、有界线性泛函、对偶空间的概念及性质；开映射定理、闭图像定理、共鸣定理及Hann-Banach延拓定理的证明及应用；Riesz定理及泛函表示；有限维赋范线性空间的基本性质；

3．Lebesgue积分

可测集和测度的概念及基本性质；Lebesgue测度和Lebesgue积分的概念、性质和计算；Levi定理、Fatou定理及控制收敛定理的证明及应用；Fubini定理的应用； 空间的基本概念和性质、 空间的对偶。

4．矩阵分解

矩阵的QR分解、奇异值分解、LU分解、Cholesky 分解的定义与基本性质。

5．矩阵范数与级数

矩阵空间的线性赋范性质，向量范数、矩阵范数、谱半径等基本概念，矩阵级数的Lagrange-Sylvester定理，计算矩阵序列与级数。

6.矩阵的相似变换

特征值与特征向量，相似对角化，Jordan标准形，Hamilton-Cayley定理，最小多项式。

7. Hermite二次型

Hermite二次型的定义及性质，酉相似及酉相似下的标准形，正规矩阵酉相似对角化。

三、考试形式

考试形式为闭卷、笔试，考试时间为3小时，满分100分。

题型包括：计算简答题、证明题等。

四、参考书目

1．《应用数学基础》．吴翊、李超编．高等教育出版社，2006. 第一版。