硕士研究生招生考试业务课考试大纲

考试科目： 数学分析 科目代码： 651

一、考试目的和要求

《数学分析》为招收数学专业硕士生而拟设的具有选拔功能的考试。 其主要目的是测试考生对数学分析最基本内容的理解、掌握和熟练程度。要求考生熟悉数学分析的基本理论、掌握数学分析的基本方法, 具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。

二、考试方法

闭卷。考试不允许带计算器。

三、考试题型

判断题、计算题、证明题等

四、考试知识点

(一)实数集与函数

 上确界、下确界、确界原理；函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性；基本初等不等式及应用。

（二）数列极限

数列极限的ε − N 定义；求解各类数列的极限；收敛数列的常用性质；数列收敛的判别条件

（三）函数极限

函数极限的ε −δ 定义及其它变式；函数极限存在的条件及判别，应用两个重要极限求解较复杂的函数极限。无穷小量、无穷大量的概念；会应用等价无穷小求极限。

（四）函数连续性

 函数在某点及在区间上连续的几种等价定义，尤其是ε −δ 定义；函数间断点及类型；闭区间上连续函数的三大性质及其应用；区间上一致连续函数的定义、判断和应用。

（五）导数和微分

导数的定义、几何意义，复合函数、参量函数、隐函数求导；微分的概念，复合函数微分及一阶微分形式不变性。连续、可导、可微之间的关系；高阶导数的各种求解方法。

（六）微分中值定理及其应用

微分中值定理及其应用，洛必达法则求极限，单调区间、极值、最值的求法；Taylor 公式思想、方法及应用；曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质；应用函数单调性、凹凸性等等工具证明函数不等式。

（七）实数完备性

实数完备性定理，闭区间上连续函数有界性、最值性、介值性、一致连续性定理。

（八）不定积分

 原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式、某些简单无理式的积分。

（九）定积分

 积分的定义和性质，微积分基本定理熟练应用；换元法、分部积分法计算定积分；可积条件和可积类。

（十） 定积分的应用

平面图形面积的计算；旋转体或已知截面面积的体积；定积分求孤长、旋转体的侧面积。

（十一）反常积分

反常积分收敛性定义，反常积分敛散性判别法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判别法）。

（十二）数项级数

级数收敛和发散的定义、性质，正项级数收敛的各种判别法，条件收敛、绝对收敛及 Leibniz、Abel、Dirichlet 三大判别法，条件收敛、绝对收敛级数的特殊性质。

（十三）函数列与函数项级数

函数列、函数项级数一致收敛的ε-N 定义、一致收敛的判别法；一致收敛函数列和一致收敛函数项级数的性质。

（十四）幂级数

幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法，知道幂级数的若干性质；函数的幂级数展开的方法；幂级数的和函数及某些数项级数的和。

（十五）傅里叶级数

2 周期的付里叶系数公式，会求函数的傅里叶展式，余弦级数，正弦级数π的求法；收敛性定理，掌握 Bessel 不等式、Lebesgue 引理等几个重要定理；

Parseval等式并运用其求某些数项级数的和。

（十六）多元函数的极限与连续

二元函数重极限、累次极限计算；二元函数连续性及其性质。

（十七）多元函数微分学

 偏导数和全微分，会计算高阶偏导数（尤其是二阶偏导数），多元复合函数求导的链式法则、理解一阶全微分形式不变性。二元函数连续、偏导数连续、可微、可偏导之间的多角关系；二元函数中值定理与 Taylor公式；多元函数极值、最值的求解方法，并会运用于解决实际问题。方向导数与梯度。