临沂大学

硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲

科目代码：804

科目名称：高等代数

考试时间：3小时

考试方式：笔试

总    分：150分

本《高等代数》考试大纲适用于报考临沂大学数学专业学术型硕士的研究生入学考试。

考试内容

1. 多项式

多项式及其运算；整除性理论；最大公因式；因式分解定理；重因式；复系数与实系数多项式的因式分解；有理系数多项式。

2. 行列式

n阶行列式的定义；行列式的性质；行列式按行(列)展开公式；行列式的计算；矩阵的初等变换；阶梯形矩阵和行最简阶梯形矩阵；克拉默 (Cramer) 法则。

3. 线性方程组

线性方程组的初等变换；n维向量空间；线性相关性；向量组的极大线性；无关组和秩；矩阵的秩线性方程组有解的判别定理与解的结构。

4. 矩阵

矩阵的运算；矩阵的分块；矩阵的逆；等价矩阵；初等矩阵与初等变换的关系。

5. 二次型

二次型及其矩阵表示；化二次型为标准形；复二次型和实二次型的规范形；

半正定二次型和正定二次型。

6. 线性空间

集合与映射；线性空间的定义和简单性质；维数、基与坐标；基变换与坐标变换；线性子空间；线性空间的同构。

7. 线性变换

线性变换的定义和简单性质；线性变换的运算；线性变换在给定基下的矩阵；矩阵的相似；线性变换的特征值与特征向量；矩阵的相似对角化；不变子空间；

若尔当 (Jordan) 标准形。

8. -矩阵

-矩阵的史密斯 (Smith) 标准形；行列式因子、不变因子和初等因子。

9. 欧氏空间

欧式空间的定义与简单性质；度量矩阵；施密特正交化过程；标准正交基；子空间的正交补；欧氏空间的同构；正交变换、对称变换与对称矩阵；最小二乘法。