一、答卷方式
闭卷、笔试
二、答卷时间
120分钟
三、试卷结构
试卷全部为解答题。满分100分，分值比例如下：
1．（必选）微积分与常微分方程，20分
2．（必选）线性代数，20分
3．（五选一）概率论与数理统计，随机过程，数值分析，数学物理方法，泛函分析，每门60分
第三部分 考试范围
一、微积分与常微分方程
1．函数与极限：映射与函数；数列的极限；函数的极限；无穷小与无穷大；极限运算法则；极限存在准则；两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质
2．一元函数微分学：导数概念；函数的求导法则；高阶导数；隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；相关变化率；函数的微分；罗尔定理；拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最大值最小值
3．一元函数积分学：不定积分的概念与性质；定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分；微积分基本公式；反常积分；定积分在几何学上的应用
4．多元函数微分学：多元函数的基本概念；偏导数；全微分的定义；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元函数微分学的几何应用；方向导数与梯度；多元函数的极值及其求法
5．多元函数积分学：二重积分的概念与性质；二重积分的计算法；重积分的几何应用；对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；格林公式及其应用；对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；高斯公式；斯托克斯公式
6．无穷级数及常微分方程：常数项级数的概念；收敛级数的基本性质；绝对收敛与条件收敛；幂级数；函数展开成幂级数；傅里叶级数；微分方程的基本概念及基本求解方法；线性微分方程解的结构；常系数线性微分方程
二、线性代数
1．行列式：n阶行列式的定义；对换；行列式的性质；克拉默法则
2．矩阵及其运算：矩阵；矩阵的运算；逆矩阵；矩阵分块法
3．矩阵的初等变换与线性方程组：矩阵的初等变换；矩阵的秩；线性方程组的解
4．向量组的线性相关性：向量组及线性组合；向量组的线性相关性；向量组的秩；线性方程组的解的结构；向量空间
5．相似矩阵及二次型：向量的内积、长度及正交性；方阵的特征值与特征向量；相似矩阵；对称矩阵的对角化；二次型及其标准形；化二次型成标准形；
6．线性空间与线性变换：线性空间的定义与性质；维数、基与坐标；基变换与坐标变换；线性变换；线性变换的矩阵表示式
三、概率论与数理统计
1．概率论的基本概念：随机试验；样本空间、随机事件；频率与概率；等可能概型；条件概率；独立性
2．随机变量及其分布：随机变量；离散型随机变量及其分布律；随机变量的分布函数；连续型随机变量及其概率密度；随机变量的函数的分布；二维随机变量；边缘分布；相互独立的随机变量；两个随机变量的函数的分布
3．随机变量的数字特征：数学期望；方差；协方差及相关系数；矩、协方差矩阵
4．大数定律及中心极限定理：大数定律；中心极限定理
5．参数估计与假设检验：点估计；估计量的评选标准；区间估计；正态总体均值与方差的区间估计；(0-1)分布参数的区间估计；单侧置信区间；
6．假设检验：假设检验；正态总体均值的假设检验；正态总体方差的假设检验；置信区间与假设检验之间的关系
四、随机过程
1．随机过程的概念与基本类型：随机过程的基本概念；随机过程的分布律和数字特征；几种重要的随机过程
2．泊松过程：泊松过程的定义和例子；泊松过程的基本性质；非齐次泊松过程；复合泊松过程
3．马尔可夫链：马尔可夫链的概念及转移概率；马尔可夫链的状态分类；状态空间的分解； 的渐近性质与平稳分布
4．连续时间的马尔可夫链：连续时间的马尔可夫链；柯尔莫哥洛夫微分方程；生灭过程。
5．平稳随机过程：平稳过程的概念；联合平稳过程及相关函数的性质；随机分析；平稳过程的各态历经性
6．平稳过程的谱分析：平稳过程的谱密度；谱密度的性质；窄带过程及白噪声过程的功率谱密度；联合平稳过程的互谱密度；平稳过程通过线性系统的分析
五、数值分析
1.解代数方程组的直接法与迭代法：高斯（Gauss）消去法；矩阵的三角分解；追赶法；基本迭代法；范数及方程组的性态、条件数；共轭梯度法；解非线性方程的迭代法：二分法；迭代法；迭代过程的加速；牛顿法；弦截法
2.矩阵特征值与特征向量的计算：乘幂法；反幂法；雅可比（Jacobi）方法；QR方法
3.代数插值：拉格朗日（Lagrange）插值；差商与牛顿（Newton）插值；差分与等距节点插值公式；埃尔米特（Hermite）插值；样条插值函数
4.函数逼近：正交多项式；最佳一致逼近；最佳平方逼近；曲线拟合的最小二乘法；有理函数逼近
5.数值积分和数值微分：牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式；龙贝格（Romberg）求积算法；高斯（Gauss）求积公式；多重积分的求积公式
6.常微分方程初值问题的数值解：尤拉（Euler）方法及其改进；龙格-库塔（Runge-Kutta）方法；线性多步法
六、数学物理方法
1．复变函数及其积分变换：复数与复数运算；复变函数；复变函数的导数；解析函数；复变函数的积分；柯西定理；柯西公式；复数项级数；幂级数；泰勒级数展开；解析延拓；洛朗级数展开；孤立奇点的分类；留数定理；傅里叶积分与傅里叶变换；拉普拉斯变换；拉普拉斯变换的反演
2．数学物理定解问题与分离变数法：数学物理方程的导出；定解条件；数学物理方程的分类；达朗贝尔公式；齐次方程的分离变数法；非齐次振动方程和输运方程；非齐次边界条件的处理；泊松方程
3．二阶常微分方程级数解法：特殊函数常微分方程；常点邻域上的级数解法；正则奇点邻域上的级数解法；施图姆-刘维尔本征值问题
4．球函数与柱函数：轴对称球函数；连带勒让德函数；一般的球函数；三类柱函数；贝塞尔方程；虚宗量贝塞尔方程；球贝塞尔方程
5．格林函数与积分变换法：泊松方程的格林函数法；用电像法求格林函数；傅里叶变换法；拉普拉斯变换法
七、泛函分析
1．实分析基础：集合；映射；集合的基数；实数的性质；一致连续与一致收敛；点集与测度；Lebesgue积分；几个重要的不等式
2．距离空间：距离空间的概念；距离空间中的点集；距离空间中的极限与连续；稠密性与可分性；距离空间的完备性；Baire纲定理；列紧性与紧性；压缩映射原理及其应用
3．赋范空间与Banach空间：线性空间；赋范空间；Banach空间；有限维赋范空间
4．内积空间与Hilbert空间：内积空间，内积与范数的关系，正交与正交系；Hilbert空间中的Fourier分析；正交分解定理；最佳逼近的应用；Hilbert空间的同构
5．有界线性算子的基本理论：线性算子的有界性与连续性；算子范数与算子空间；有限维赋范空间上的线性算子；Banach空间上的有界线性算子的性质；
第四部分 参考书目
1．同济大学应用数学系,高等数学（第七版），北京：高等教育出版社，2019
2．同济大学应用数学系，线性代数，北京：高等教育出版社，2018
3．浙江大学盛骤等，概率论与数理统计（第四版），北京：高等教育出版社，2018
4．刘次华，随机过程（第四版），武汉：华中科技大学出版社，2008
5. 同济大学计算数学教研室，数值分析基础，上海：同济大学出版社，2000
6．梁昆淼，数学物理方法(第三版)，北京：高等教育出版社，2006
7. 姚泽清，应用泛函分析，北京：科学出版社，2017
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