2020年云南大学823数学分析考研大纲

云南大学 1
823-《数学分析》硕士研究生入学考试大纲
一、考试性质
《数学分析》是基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统
计专业、应用数学专业、运筹学与控制论专业、系统理论专业硕士学
位研究生入学考试的科目之一。《数学分析》考试要求能反映数学学
科的特点，科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力，很
好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习，为国家培
养掌握现代数学方面的基础理论知识，具有较强分析与解决实际问题
能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。
二、考试要求
考查考生对《数学分析》里的基本概念、基础知识的掌握情况，
考察考生的分析能力、计算能力和对知识的综合运用能力。
三、试卷分值、考试时间和答题方式
本科目试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟，答题方式为
闭卷、笔试。
四、试题结构
（1）试卷题型结构
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填空题：30 分
计算题：60 分
证明题：60 分
（2）内容结构
各部分内容所占分值为
极限论： 约 30 分
单变量微积分学： 约 40 分
级数： 约 40 分
多变量微积分学： 约 40 分
五、考查的知识及范围
1、变量与函数
函数的概念；复合函数和反函数；基本初等函数
2、极限与连续
数列的极限和无穷大量；函数的极限；连续函数
3、极限续论
关于实数的基本定理；闭区间上连续函数性质
4、导数与微分
导数的引进与定义；简单函数的导数；求导法则；复合函数求导
法；微分及其运算；隐函数及参数方程所表示函数的求导法；不
可导的函数举例；高阶导数与高阶微分
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5、微分学的基本定理及其应用
微分中值定理；泰勒公式；函数的升降、凸性与极值；平面曲线
的曲率；待定型；方程的近似解
6、不定积分
不定积分的概念及运算法则；不定积分的计算
7、定积分
定积分概念；定积分存在条件；定积分的性质；定积分计算
8、定积分的应用和近似计算
平面图形面积；曲线的弧长；体积；旋转曲面的面积；质心；平
均值、功
9、数项级数
上极限与下极限；级数的收敛性及基本性质；正项级数；任意项
级数；绝对收敛级和条件收敛级数的性质；无穷乘积
10、反常积分
无穷限的反常积分；无界函数的反常积分
11、函数项级数、幂级数
函数项级数的一致收敛性；幂级数；逼近定理
12、Fourier 级数和 Fourier 变换
Fourier 级数； Fourier 变换
13、多元函数的极限与连续
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平面点集；多元函数的极限和连续性
14、偏导数和全微分
偏导数和全微分的计算；求复合函数偏导数的链式法则；由方程
（组）所确定的函数的求导法；空间曲线的切线与法平面；曲面
的切平面与法线；方向导数和梯度；泰勒公式
15、极值和条件极值
极值和最小二乘法；条件极值
16、隐函数存在定理、函数相关
隐函数存在定理；函数行列式的性质、函数相关
17、含参变量积分
含参变量的积分的定义；含参变量的积分的分析性质：连续性定
理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；含参变量的积分的计
算。
18、含参变量的反常积分
参变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy 收敛原
理、Weierstrass 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法；一致收
敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求
导定理；Beta 函数和 Gamma 函数。
19、积分的定义和性质
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二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念；积分的
性质
20、重积分的计算及应用
二重积分的计算；三重积分的计算；积分在物理上的应用；反常
重积分
21、曲线积分和曲面积分的计算
第一类曲线积分的计算；第一类曲面积分的计算；第二类曲线积
分；第二类曲面积分
22、各种积分间的联系和场论初步
各种积分间的联系；格林(Green)公式；高斯(Gauss)公式；斯托
克司(Stokes)公式；曲线积分和路径的无关性；场论初步