2015年成都电子科技大学2002数理方程和复变函数考博大纲
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2015年成都电子科技大学2002数理方程和复变函数考博大纲

成都电子科技大学 博士研究生入学考试初试自命题科目考试大纲
考试科目 2002 数理方程和复变函数 考试形式 笔试(闭卷)
考试时间 180 分钟 考试总分 100 分
一、总体要求
主要考察学生掌握《数理方程和复变函数》的基本概念和基本理论的程度,重点考察数理方程和
复变函数的基本原理和方法。要求学生能够灵活运用所学知识,并具备较强的分析问题与解决问题
的能力。
二、内容
数理方程部分
1. 定解问题
1)典型数学物理方程的导出(波动方程,热传导方程,拉普拉斯方程)
2)能写出(导出)定解条件,齐次化原理,二阶线性偏微分方程的分类和化简。
2. 分离变量法
1)掌握分离变量法
2)能应用于波动方程、热传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄利克雷问题
3)非齐次问题的常用处理方法。
3. 行波法
1)一维波动方程的达朗贝尔公式
2)半无界问题,三维波动方程柯西问题的泊松公式及推导。
4. 积分变换
1)Fourier 变换与 Laplace 变换的性质,以及在定解问题求解中的应用。
5. 格林函数法
1)格林公式和应用,格林函数的性质;
2)一些特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题。
6. Bessel 函数
1)Bessel 函数及其性质
7. Legendre 多项式
1)Legendre 多项式及其性质。
复变函数部分
1. 复数与复变函数
1)复数、复平面上的点集,复数的代数运算,乘幂与方根;
2)复数的三角表示,复变函数,极限,连续性,区域与若尔当曲线,复球面与无穷远点。
2. 解析函数
1)解析函数概念与柯西-黎曼条件,求导法则,可微的必要条件和充分条件,奇点;
2)初等解析函数(正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数),初等多值函数(根式
函数、对数函数、反三角函数、一般指数函数、一般幂函数),多值解析函数的支点、割线、
解析分支。
3. 复变函数的积分
1)复积分的概念及基本性质;
2)柯西-古萨基本定理(单连通与复连通域),定积分与原函数,柯西积分公式,高阶导数公
式,解析函数的无穷可微性,刘维尔定理,摩勒拉定理,调和函数与共轭调和函数,平均值
定理与极值原理。
4. 解析函数的幂级数表示法
1)复级数的基本性质,收敛与一致收敛,幂级数,收敛半径,和函数的性质;
2)解析函数的泰勒展开式,解析函数零点的孤立性及唯一性定理,最大模原理。
5. 解析函数的洛朗展开式与孤立奇点
1)解析函数的洛朗展开式;
2)解析函数的孤立奇点,皮卡定理,解析函数在无穷远点的性态,整函数与亚纯函数的概念。
6. 留数理论及其应用
1)留数的概念和求法,留数定理,用留数计算实积分;
2)辐角原理,儒歇定理及应用。
7. 保形变换
1)解析变换的特征,导数的几何意义;
2)单叶解析变换的共形性,分式线性变换,唯一决定分式线性变换的条件。
三、题型
分析计算题
证明题

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