2015年成都电子科技大学2002数理方程和复变函数考博大纲

成都电子科技大学 博士研究生入学考试初试自命题科目考试大纲
考试科目 2002 数理方程和复变函数 考试形式 笔试（闭卷）
考试时间 180 分钟 考试总分 100 分
一、总体要求
主要考察学生掌握《数理方程和复变函数》的基本概念和基本理论的程度，重点考察数理方程和
复变函数的基本原理和方法。要求学生能够灵活运用所学知识，并具备较强的分析问题与解决问题
的能力。
二、内容
数理方程部分
1. 定解问题
1)典型数学物理方程的导出（波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程）
2)能写出（导出）定解条件，齐次化原理，二阶线性偏微分方程的分类和化简。
2. 分离变量法
1)掌握分离变量法
2)能应用于波动方程、热传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄利克雷问题
3)非齐次问题的常用处理方法。
3. 行波法
1)一维波动方程的达朗贝尔公式
2)半无界问题，三维波动方程柯西问题的泊松公式及推导。
4. 积分变换
1)Fourier 变换与 Laplace 变换的性质，以及在定解问题求解中的应用。
5. 格林函数法
1）格林公式和应用，格林函数的性质；
2）一些特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题。
6. Bessel 函数
1）Bessel 函数及其性质
7. Legendre 多项式
1）Legendre 多项式及其性质。
复变函数部分
1. 复数与复变函数
1）复数、复平面上的点集，复数的代数运算，乘幂与方根；
2）复数的三角表示，复变函数，极限，连续性，区域与若尔当曲线，复球面与无穷远点。
2. 解析函数
1）解析函数概念与柯西－黎曼条件，求导法则，可微的必要条件和充分条件，奇点；
2）初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数），初等多值函数（根式
函数、对数函数、反三角函数、一般指数函数、一般幂函数），多值解析函数的支点、割线、
解析分支。
3. 复变函数的积分
1）复积分的概念及基本性质；
2）柯西－古萨基本定理（单连通与复连通域），定积分与原函数，柯西积分公式，高阶导数公
式，解析函数的无穷可微性，刘维尔定理，摩勒拉定理，调和函数与共轭调和函数，平均值
定理与极值原理。
4. 解析函数的幂级数表示法
1）复级数的基本性质，收敛与一致收敛，幂级数，收敛半径，和函数的性质；
2）解析函数的泰勒展开式，解析函数零点的孤立性及唯一性定理，最大模原理。
5. 解析函数的洛朗展开式与孤立奇点
1）解析函数的洛朗展开式；
2）解析函数的孤立奇点，皮卡定理，解析函数在无穷远点的性态，整函数与亚纯函数的概念。
6. 留数理论及其应用
1）留数的概念和求法，留数定理，用留数计算实积分；
2）辐角原理，儒歇定理及应用。
7. 保形变换
1）解析变换的特征，导数的几何意义；
2）单叶解析变换的共形性，分式线性变换，唯一决定分式线性变换的条件。
三、题型
分析计算题
证明题