福建师范大学643高等代数考研大纲

福建师范大学 高等代数考研大纲
Ⅰ 考查目标
高等代数课程是一门基础理论课.近年来，由于自然科学，社会科学和工程技术的迅速
发展，特别是由于电子计算机的普遍应用，使得代数学得到日益广泛的应用.这就要求数学
专业的本科学生不仅了解代数学的一些计算问题，还应具备代数学的基础理论知识，以便融
会贯通的运用代数学的工具去解决理论上和实践上遇到的各种问题.
本课程包括一元多项式理论，线性代数，其中以线性代数为主，具有很强的抽象性与逻
辑性.本课程的考查注重学生科学的思维方式，分析问题和解决问题的能力；同时渗透现代
数学的观点和的思想.通过本课程的考查，能体现“学生掌握多项式理论的基本概念，线性
方程组的基本理论，矩阵的基本运算和技巧，线性空间与欧几里得空间的基本性质，线性变
换的基本概念和方法”的基本情况.考查学生的抽象思维能力，解决实际问题的方法，从而
为学生的研究生阶段的学习打下必要的代数学基础.
难度以应届本科优秀学生能取得及格以上成绩为基准.
Ⅱ 考试形式和试卷结构
1 填空题约占 30%
2 计算题约占 40%
3 证明题约占 30%.可以根据需要将证明题分为基本证明题和综合证明题两大部分.
4、试卷总分 150 分.
Ⅲ 考查范围
第一部分 多项式
一 多项式代数与多项式函数
二 最大公因式和互质（与数域扩充无关的性质）
三 因式分解（与数域扩充有关的性质）及应用
第二部分 行列式
一 行列式的定义、性质及应用
二 行列式的计算
第三部分 矩阵初步
一 矩阵代数
二 矩阵的初等变换及应用
三 方块矩阵的初等变换及应用
第四部分 线性空间
一 线性空间的定义
二 向量的线性关系
三 子空间与空间直和分解
第五部分 线性变换
一 线性映射
二 线性变换
三 同构对应及应用
第六部分 线性方程组
一 齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示
二 非齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示
三 线性方程组的反问题和矩阵方程
第七部分 矩阵的秩
一 矩阵的秩的等价刻划
二 关于矩阵秩的命题及应用
第八部分 线性空间同构
一 线性空间的同构
二 三种重要的同构
三 命题的互相转化及应用
第九部分 特征值与特征向量
一 矩阵的特征值与特征向量 特征多项式 最小多项式
二 线性变换的特征值与特征向量 特征多项式 最小多项式
三 可对角化的矩阵（线性变换）
第十部分 空间分解定理和 Jordan 标准形
一 空间分解定理
二 Jordan 标准形
三 Jordan 标准形的求法
四 Jordan 标准形应用举例
第十一部分 欧氏空间
一 欧氏空间的正交向量
二 欧氏空间的子空间的正交补
三 n 维欧氏空间的线性变换
第十二部分 二次型
一 二次型（对称阵）的标准形
二 正定二次型（对称阵）与二次型（对称阵）的正定性
第十三部分 等价关系与矩阵标准型
一 等价关系与分类
二 矩阵中的几种等价关系与矩阵标准型
Ⅳ 参考书
（1）张禾瑞、郝炳新编.高等代数(第五版).高等教育出版社，2008 年.
（2）北京大学数学系编. 高等代数(第 3 版).高等教育出版社，1988 年.
（3）邱维声编.高等代数.高等教育出版社，2002 年.