大连海事大学834高等代数考研大纲

大连海事大学硕士研究生入学考研大纲
考试科目：高等代数
试卷满分及考试时间：试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
考试内容
一、 多项式
1. 多项式的带余除法、整除性，最大公因式、互素多项式。
2. 不可约多项式，因式分解唯一性定理，重因式，复系数与实系数
多项式的因式分解，有理系数多项式不可约的判定。
3. 多项式函数与多项式的根，有理系数多项式有理根的求法，根与
系数关系。
二、 行列式
1．n 阶行列式的概念和基本性质，行列式的子式、余子式以及代数
余子式。
2．行列式按行(列)展开定理，Vandermonde 行列式，Cramer 法则，
Laplace 定理，行列式乘积法则。
3. 行列式的计算。
三、 线性方程组
1. 向量空间。
2．向量组的线性相关与线性无关。
3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。
4．等价向量组的概念和性质。
5．矩阵的秩。
6．求解线性方程组的消元法。
7．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充分必要条
件。
8．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。
9．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。
四、 矩阵
1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。
2．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。
3．初等矩阵的概念和性质。
4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及
初等变换求逆矩阵。
5．分块初等矩阵及应用。
五、 二次型
1．二次型的矩阵表示及秩。
2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。
3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。
4．用正交变换化二次型为标准型。
5．一般数域、复数域、实数域上二次型的标准形和规范形，惯性定
理。
6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。
六、 线性空间
1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。
2．线性子空间及其交与和的基与维数。
3．线性空间的基变换和过渡矩阵。
4．线性子空间的直和。
5．线性空间的同构。
七、 线性变换
1．线性变换的概念及矩阵表示，线性变换的运算及在给定基下的矩
阵。
2．线性变换（矩阵）的特征值与特征向量的概念、性质。
3．相似变换、相似矩阵的概念及性质。
4．线性变换（矩阵）可相似对角化的充分必要条件，相似对角矩阵。
5．正交矩阵、实对称阵及其性质。
6．象子空间与核子空间的基与维数。
7．不变子空间。
8．Hamlton-Cayley 定理，Jordan 标准形，最小多项式。
八、  -矩阵
1.  -矩阵的初等变换， -矩阵的行列式因子、不变因子、初等因
子以及三种因子之间的关系。
2.  -矩阵的等价与数字矩阵的相似。
3. Jordan 标准型的理论推导。
九、 欧氏空间
1．向量的内积、范数、夹角。
2．Schmidt 正交化过程，规范正交基。
3．正交子空间和正交补。
4．正交变换和对称变换的概念和性质。
5. 实对称阵正交相似于对角阵的计算。
参阅
1．课程教材：《高等代数》（第四版），北京大学数学系编，高等
教育出版社，2014 年。
2．参考资料：徐仲等编，《高等代数导教、导学、导考(第四版)》，
西北工业大学出版社，2014 年。
3．参考资料：《高等代数习题课辅导》，大连海事大学数学系自编
辅导书，2014 年。