北京科技大学613数学分析考研大纲

2018 年北京科技大学招收硕士研究生考研大纲
《数学分析》考研大纲
一.课程教学基本要求
1．课程重点：
各章的重点依次为：实数集的性质，确界的概念、确界原理；数列极限的定义、性质及
计算；函数极限的概念、性质及计算；函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；导数
与微分的概念及其计算；微分中值定理, 泰劳公式, 利用导数研究函数的单调性,极值与凸性；
实数完备性基本定理的证明和应用；换元积分法和分部积分法；函数可积性条件；定积分的
几何应用和物理应用；反常积分的收敛判别法；级数敛散性概念和正项级数收敛判别法；函
数列一致收敛的概念，极限函数与和函数的分析性质；幂级数的收敛半径、收敛区间，函数
展为幂级数；将函数展为傅里叶级数；平面点集的有关概念，多元函数极限与连续性概念，
二重极限与累次极限的关系；偏导数、全微分的概念及它们之间的关系，多元函数的极值；
隐函数微分法和多元函数的条件极值；含参量反常积分的一致收敛性判别，含参量反常积分
的性质；两类曲线积分的概念与计算；二重积分的概念、性质，格林公式及应用，曲线积分
与路线无关的几个重要条件，二重积分和三重积分的计算；第一型和第二型曲面积分的定义、
计算，高斯公式及应用；常微分方程的基本概念，常微分方程的初等解法.
2．课程难点：
各章的难点依次为：确界的定义及应用；数列极限的“ε —N”定义及柯西准则；函数
极限的“ε —δ ”定义与“ε —X”定义，柯西准则和海涅定理的运用；一致连续性的概念；
求复合函数导数；构造辅助函数，利用微分中值定理解决问题，函数的凸性；实数完备性基
本定理的证明和应用；积分计算技巧；函数可积性条件的讨论；定积分的几何应用和物理应
用；反常积分敛散性判别；一般级数敛散性的判别法；一致收敛概念、判别及应用；幂级数
收敛区间端点处敛散性判别；傅里叶级数收敛性的判别和收敛定理的证明；平面点集的概念，
二重极限与累次极限的关系；全微分、偏导数之间的关系，高阶复合函数的偏导数；隐函数
定理；含参量广义积分的一致收敛性判别与性质；两类曲线积分的关系；重积分的变换，化
重积分为累次积分；两类曲面积分的关系，高斯公式、斯托克斯公式及应用.
二.课程教学内容与学时
课堂教学 1． 实数集与函数
1.1 掌握实数的基本性质，熟练运用绝对值的有关性质和常用的不等式；
1.2 理解邻域、确界概念，掌握确界原理；
1.3 理解函数、复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法，掌握
初等函数的性质和图象；
1.4 理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.
2． 数列极限
2.1 准确理解数列极限的 - N 定义，会用定义证明极限；
2.2 理解并能证明收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法；
2.3 理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念，理解数列收敛的条件，收敛
性的判别法；掌握用单调有界原理证明数列收敛，理解用 Cauchy 准则判断数列的敛散性.
3．函数极限
3.1 准确理解函数极限的 - 定义，会用定义证明极限；
3.2 掌握函数极限的基本性质和求极限的常用方法；
3.3 理解数列收敛的条件，掌握海涅定理和柯西准则的实质和证明思路，并用其判定函
数极限的存在性；
3.4 掌握两个重要极限的结论、证明及应用；
3.5 理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限.
4．函数的连续性
4.1 理解函数在一点连续的定义及等价叙述；理解在一点间断的概念；掌握函数连续性
和连续函数的概念；
4.2 熟悉连续函数的有界性、保号性和运算性质并灵活应用；掌握闭区间连续函数的主
要性质，理解其几何意义并应用；理解闭区间一致连续的概念；
4.3 依据初等函数的连续性求函数极限.
5．导数和微分
5.1 理解函数在一点导数存在的定义及物理、几何意义，计算函数的导数；明确导数与
单侧导数、可导与连续的关系；熟练导数的物理、几何应用；
5.2 熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，计算反函数的导数；
5.3 熟练应用含参变量的求导法则进行导数运算；
5.4 了解高阶导数定义，理解和运用一阶微分的形式不变性，熟悉高阶导数的计算；
5.5 理解函数在一点的微分的定义、几何解释，求初等函数的微分；明确函数在一点可
导与一点可微之间的一致性，并应用微分进行近似计算.
6．微分中值定理及其应用
6.1 掌握三个微分中值定理的内容、证明方法、应用，理解其分析意义与几何意义，了
解三者之间的包含关系；
6.2 熟练掌握 L’Hospital 法则求某些不定式的极限；理解函数在一区间上单调以及严格
单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单
调性证明某些不等式；
6.3 理解 Taylor 定理，掌握 Taylor 公式，熟记一些常用初等函数的 Taylor 展开公式；熟
悉两种不同余项的 Taylor 公式及其之间的差异及应用；
6.4 了解函数极值的概念，取得极值必要条件及充分条件；掌握求函数极值的一般方法
和步骤；灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；
6.5 理解函数凸性、曲线的拐点的概念，掌握讨论函数的凹凸性的方法，能应用函数的
凸性证明某些有关的命题；
6.6 利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等性质大致描绘函数图象.
7．实数的完备性
7.1 掌握实数六个基本定理，理解其意义和重要性；了解定理间的等价性；
7.2 应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题；
7.3 了解上极限、下极限的概念以及与极限的关系.
8．不定积分
8.1 理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积
分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式；
8.2 熟练地应用换元积分公式和分部积分公式；
8.3 掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某
些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法.
9．定积分
9.1 理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；
9.2 理解微积分基本定理的意义，熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分
9.3 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，
证明可积性问题；
9.4 理解并熟练地应用定积分的性质；
9.5 掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.
10．定积分的应用
10.1 理解微元法的思想，将实际问题化成定积分；计算平面区域的面积；
10.2 应用本章给出的公式，用截面面积计算体积；
10.3 计算平面曲线的弧长；
10.4 计算旋转曲面的面积；
10.5 计算变力作功等物理问题.
11．常微分方程解法简介
了解常微分方程与解的概念，熟练掌握方程类型的判别，熟练掌握五种基本初等积分法
——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法，二阶线性常系数
微分方程解法.
12．多元函数的极限与连续
12.1 理解平面点集的有关概念，掌握 R
2
上的完备性定理，理解多元函数的概念；
12.2 掌握二元函数极限的定义，深刻理解累次极限与重极限的关系；
12.3 理解二元函数连续性的概念，掌握闭区域上连续函数的性质.
13．多元函数微分学
13.1 理解二元函数可微和偏导数的定义，深刻理解可微与偏导数存在的关系，可微性
条件、几何意义；
13.2 熟练复合函数的求导法则，理解多元函数一阶微分形式不变性；
13.3 理解掌握三元函数的方向导数与梯度的概念和计算；
13.4 理解并掌握二元函数微分中值定理和 Taylor 公式，解决多元函数极值问题.
14．隐函数定理及其应用
14.1 了解隐函数存在性条件，掌握隐函数定理，熟练隐函数求导；
14.2 了解隐函数组、反函数组的概念，理解隐函数组、反函数组定理的内容
14.3 熟悉隐函数组定理的几何应用；
14.4 掌握求条件极值的拉格朗日乘数法.
15．曲线积分
15.1 理解第一型曲线积分的定义，熟悉第一型曲线积分的计算；
15.2 理解第二型曲线积分的定义，熟悉第二型曲线积分的计算；
16．重积分
16.1 理解二重积分的定义及存在性，熟悉二重积分的性质；
16.2 掌握直角坐标系下二重积分的计算
16.3 掌握格林公式计算曲线积分，理解曲线积分与路线的无关性；
16.4 熟悉二重积分的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分；
16.5 理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算
16.6 熟练重积分在几何与力学方面的应用.
17．曲面积分
17.1 理解第一型曲面积分的概念，熟练第一型曲面积分的计算；
17.2 理解第二型曲面积分的概念，熟练第二型曲面积分的计算；
17.3 利用高斯公式和斯托克斯公式求曲面积分.
17.4 场论初步
18．反常积分
18.1 理解反常积分的概念，反常积分的含义与性质；
18.2 理解反常积分敛散性的含义，掌握反常积分敛散性的判别方法；
18.3 掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别方法.
19．数项级数
19.1 理解级数与数列的关系，级数敛散性的概念；掌握级数收敛的 Cauchy 准则，收敛
级数的性质；
19.2 掌握正项级数收敛的各种判别原则和方法；
19.3 掌握交错级数收敛性判别法，了解级数的绝对收敛的概念和性质；掌握一般项级
数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.
20．函数列与函数项级数
20.1 理解函数列收敛和一致收敛的定义、几何意义，函数列或函数项级数与极限函数
的关系；掌握判别一致收敛的 Cauchy 准则、M –判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法；
20.2 掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质.
21．幂级数
21.1 理解幂级数的收敛半径、收敛域的概念，并会计算收敛半径，分析收敛域；掌握
幂级数的一致收敛性判别方法和幂级数的性质；
21.2 理解函数和 Taylor 展式间的关系，掌握函数的幂级数展开.
22．傅里叶级数
22.1 了解三角级数的有关概念，掌握三角函数系的特性；理解2为周期的函数的Fourier
级数的定义、收敛定理；
22.2 理解奇、偶函数的 Fourier 级数，掌握将一个函数展开成 Fourier 级数；
22.3 掌握 Fourier 级数收敛性定理证明.
23．含参量积分
23.1 理解含参量积分的概念，掌握含参量积分的连续性、可微性与可积性定理及应用；
23.2 理解含参量反常积分的概念，一致收敛的定义，掌握一致收敛的判别方法，含参
量反常积分的性质；
23.3 了解函数和函数的性质及二者关系.
一、 教材与参考书
教材
1. 华东师范大学数学系编，《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2010 年，第四版.
参考书
1. 斐礼文编，《数学分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社，2008 年，第二版.
2. 林源渠，方企勤编，《数学分析解题指南》，北京大学出版社，2003 年，第一版.
3．吴良森 毛羽辉 韩士安 吴畏编，《数学分析学习指导》高等教育出版社，2004 年第一版.
4. 谢惠民，恽自求编，《数学分析习题课讲义》，高等教育出版社，2003 年，第一版.
5. B.A.卓里奇，《数学分析（第四版）》，高等教育出版社，2006 年.
6. 盖尔鲍姆，奥姆斯特德，《分析中的反例》，上海科学技术出版社，1980 年.