安徽师范大学数学专业《实变函数》本科教学大纲

数学专业《实变函数》教学大纲
学时：54 学时 学分：3
理论学时：54 学时
适用专业：数学与数学应用
大纲执笔人：徐际宏 大纲审定人：陈怀军
说明
实变函数是高等师范院校数学专业本科的一门必修课程。它是数学分析课程内容的深化
与发展，是近代分析数学的基础，在分析数学系列课程中起着承上启下的作用。
本大纲是根据教育部 1980 年颁发的高等师范院校数学专业本科实变函数论与泛函分析教学
大纲，并充分考虑到当前国内高等师范院校教学改革迅速发展的现状编写制定的，以 n 维欧
氏空间及其上的广义实值函数为主要讨论对象，以勒贝格（Lebesgue）测度和积分理论为中
心内容，介绍实变函数论的基本知识，以期达到让学生初步熟悉与掌握实变函数论的基本理
论与基本思想方法，加深对数学分析和其他相关课程内容的理解，提高数学素养，为进一步
学习现代数学理论打下初步基础的目的。
由于总学时安排较少，完成大纲的全部内容会有一定困难，但必须保证基本内容的完
成，对于大纲中一部分带*号的内容，教师可视具体情况决定取舍。
本课程按要求安排总学时 54.
大纲内容
一．集合与基数（7 学时）
1． 集合的概念及集合的运算
2． 对等与基数
3． 可数集
4． 不可数集
*5.半数集与 Zorn 引理
二．欧氏空间中的点集（7 学时）
1．度量空间和 n 维欧氏空间
2．聚点、内点、界点
3．开集、闭集、完全集
4．直线中开集、闭集、完全集的构造
5．稠密与疏朗、Cantor 等
6．关于 R
n
的基本定理
三．勒贝格测度（8 学时）
1．Lebesgue 外测度
2．L 可测集及其性质
3．L 可测集与 Bord 可测集
*4.不可测集
四．可测函数（10 学时）
1．可测函数的定义及其充分必要条件
2．可测函数的性质
3．可测函数列的几乎处处收敛，依测度收敛，近一致收敛的概念以及它们之间的关系
（EropoB 定理、Riesz 定理、Lebesgue 定理）
4．可测函数函数的结构、л у э и н 定理
五．勒贝格积分（14 学时）
1．Lebesgue 积分的定义（⑴有限测度上有界可测函数；⑵一般可测集上非负可测函数；，
⑶一般可测集上一般可测函数三种情形逐步扩充定义。）
2．L 积分的性质
3．L 积分与 R 积分之间的关系
4．积分的极限定理（Lebesgue 控制收敛定理、Len 定理、Fatou 定理）
5．R 可积的充要条件
6．L 积分的几何意义、Fubini 定理
六．微分与不定积分（8 学时）
1．有界变差函数
2．*维它(Vitali)覆盖定理，Lebesgue 单调函数微分定理（证明不讲）
3．不定积分与绝对连续函数
*4.Lebesgue-Stieltjies 积分
教学参考书目：
程其襄等编 实变函数与泛函分析基础（第二版） 高等教育出版社 2003
夏道行等 实变函数论与泛函分析（第二版）上册 高等教育出版社 1985
周民强 实变函数（第二版） 北京大学出版社
Torchinsky A，Real Variables，New York ：Addison-Wesley Pub. Comp-Inc 1988