安徽师范大学计算机专业《高等数学》大纲本科教学大纲

计 算 机 专 业 （ 本 科 ）
《高等数学》教学大纲
说 明
《高等数学》是计算机科学与技术专业的一门重要的基本课。通过本课程的学习要
求学生获得高等数学最基本的知识和理论，以及熟练的运算技能和方法，为学生学习后
继课程提供必要的数学工具，并为进一步学习数学和计算机专业课打下基础。
本课程以阐述数学的系统知识为主，其主要内容为一元函数微积分、空间解析几何
与向量代数、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程。
本课程教学总学时为 153 学时，习题课贯穿在全教学过程中。本大纲所列内容与每
章教学时，教师可作适当调整。
大 纲 内 容
一、函数、极限与连续（２0 学时）
１ 函数
函数的概念：常量、变量、函数的定义及表示法、分段函数、反函数。
函数的简单性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性
基本初等函数及其图形：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
复合函数、初等函数。
２ 极限
数列的极限：数列极限的 N 定义，收敛数列的性质及四则运算法则，单调有界
数列必有极限定理推出 e 的定义 e
n
n
n


)
1
1(lim .
函数的极限：函数极限的   定义及 X 定义，函数的左、右极限及其与函数极
限的关系，函数极限的四则运算法则，两边夹定理，两个重要极限。
1
sin
lim)1(lim)
1
1(lim
0
1
0

 x
x
ete
x x
t
t
x
x
无穷小量和无穷大量：无穷小量和无穷大量的定义及两者的关系，无穷小量的性质，
无穷小量阶的比较。
３ 连续
函数连续的概念：函数在 连续的三种定义，左连续马右连续，函数的间断点及其
分点。
连续函数的运算与初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的性质：最大值和最小值定理、有界性定理、介值定理。
内容处理建议：
１ 在讲解函数有关概念时，可联系观有中学数学基础，重点介绍区间、领域、分
段函数及复合函数等概念，不要求利用定义求极限的技巧。
２ 讲授极限的 N 定义域或   定义时，着重讲清概念，不要求利用定义求
限的技巧。
３ 要求学生熟练掌握二个重要极限，并会将一些极限问题转化为上述重要极限形
式。
二、一元函数微分学
１ 导数马微分（１2 学时）
导数的概念：由直线运动速度和曲线上切线的斜率引入导数定义及其几何意义与物
理意义，单侧导数，平面曲线的切线马法线，可导马连续的关系。
导数的四则运算法则，反函数的求导法则，基本初等函数的导数公式。
求导方法：复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的
函数的求导法。
高阶导数的概念
微分：微分的定义及其几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不
变性。
微分在近似计算中的应用。
内容处理建议：
１ 着重解决初等函数的求导问题，以及隐函数和由参数方程确定的函数的求导问
题。
２ 微分在近似计算中的略解或不解。
２ 中值定理与导数的应用（１4 学时）
中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒中值定理。
洛必达法则
函数单调性的判定法，函数的极值与极值点的概念及其求法，最值问题，曲线的凹
凸性、拐点及其求法，曲线的水平渐近线与垂直渐近线及其方法，函数作图。
曲率，方程的近似解。
内容处理建议：
１ 洛必达法则可不证，着重在于会用洛必达法则求各种类型未定式的极限。
２ 曲率这部分内容可只介绍弧微分概念及其公式。
３ 方程的近似解可略讲或不讲。
三、一元函数积分学
１ 不定积分（１2 学时）
不定积分的概念：原函数与不定积分的定义及几何意义，原函数存在定理，不定积
分的性质。
不定积分法：基本积分公式，第一换元法（即凑微分法），第二换元法，分部积分
法。
几种特殊类型函数的积分：有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函
数的积分。
积分表的使用
内容处理建议：
积分表的使用可不讲。
２ 定积分及其应用（17 学时）
定积分的概念，由曲边梯形的面积引出定积分定义及其几何意义，定积分的性质及
中值定理。
微积分基本公式：可变上限的积分及其求导定理，牛顿一莱布尼茨公式。
定积分的计算方法：换元法，分部积分法。
定积分的近似计算；梯形法，抛物线法。
定积分的应用：平面图形的面积，旋转体体积，平行截面面积为已知的立体的体积，
平面曲线的弧长；变力作功，水压力，引力，平均值，均方根
广义积分：收敛，发散，计算方法，Г -函数。
内容处理建议：
１ 对于在定积分的应用中导出的一些计算公式，它们固然为计算有关问题提供了
方便，然而更为重要的是通过这些公式的导出，要求学生掌握运用定积分的元素法解决
实际问题。
２ 定积分的近似计算可不讲。
四、空间解析几何与向量代数（１6 学时）
１ 向量代数
空间有角坐标系：建立空间直角坐标系，两点间距离及定比分割公式。
向量的线性运算：加法、减法、数乘。
向量的数量积：二向量的夹角，两向量垂直的充要条件。
向量的向量积：二向量平行的充要条件。
２ 平面与空间直线
平面方程：点法式方程，一般式方程。
两平面平行的条件，两平面垂直的条件，点到平面的距离。
空间直线方程：对称式方程（又称点向式或标准式方程），一般式方程，参数式方
程。
直线与平面的相互关系。
３ 简单曲面与空间曲线
球面、柱面与锥面，旋转曲面，二次曲面标准方程举例。
空间曲线的一般方程与参数方程，空间曲线在坐标面上的投影。
内容处理建议：
教会学生用平行截面来讨论曲面的形状，并作出一些简单二次曲面的草图及利用直
观模型等加强培养学生的空间想象力
五、多元函数微积分学
１ 多元函数微分学（18 学时）
多元函数的概念：区域，多元函数的定义、极限与连续性。
偏导数与全微分：偏导数的定义及计算法，高阶偏导数，全微分的定义，全微分存
在的条件及与连续、偏导间的关系。
复合函数和隐函数的微分法
偏导数的应用：几何方面的应用（切线与法平面，切平面与法线），多元函数的极
值和最值（无条件极值与条件极值），方向导数与梯度。
２ 多元函数积分学（26 学时）
二重积分：二重积分的定义和性质，利用直角坐标和极坐标计算二重积分，二重积
分的应用（曲面的面积及平面薄片的重心、转动惯量和对使点的引力）。
三重积分：引入柱面坐标、球面坐标，三重积分的定义及性质，利用柱面坐标和球
面坐标计算三重积分。
曲线积分：第一型曲线积分的定义及计算方法，第二型曲线积分的定义及计算方法，
两类曲线积分之间的联系，格林公式，第二型曲线积分与无关的条件。
曲面积分：第一型曲面积分的定义与计算方法，第二型曲面积分的定义与计算方法，
两类曲面积分之间的联系，高斯公式，通量与散度，斯托克斯公式，环
流量与旋度。
内容处理建议：
１ 重点介绍二元函数的相关概念，等阶偏导数也以二阶的重点。
２ 通量与散度，环流量与旋度可不讲。
六、无穷级数（１0 学时）
１ 常数项级数
数项级数：数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本性质，级数收敛的必
要条件。
正项级数的收敛法则：比较判别法，比值判别法。
任意项级数：绝对收敛，条件收敛，交错级数，莱布尼兹判别法。
２ 幂级数
幂级数的概念：函数项级数及其收敛域，幂级数概念及其收敛区间，由敛半径的求
法。
幂级数的四则运算及逐次积分和求导法则。
函数展开成幂级数：泰勒级数，麦克劳林级数，幂级数展开式。
３ 傅里叶级数
三角函数系的正定性，傅里叶系数公式，函数的傅里叶级数，奇函数和偶函数的傅
里叶级数，函数展开成正弦级数或余弦级数，周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数。
内容处理建议：
傅里叶级数可简讲。
七、微分方程（8 学时）
微分方程的概念：定义、阶、解、通解、初始条件，特解。
一阶微分方程：可分离变量的方程，齐次方程，线性方程。
全微分方程
可降阶方程： )(
)(
xfy
n
 型方程， ),( yxfy  型的微分方程， ),( yyfy  型
的微分方程。
线性微分方程的解的结构，二阶常系数齐次线性方程的解法及二阶常系数非齐次线
性方程的解法。
微分方程的幂级数解法。
内容处理建议：
１ 重点介绍一阶微分方程和可降阶微分方程的解法。
２ 微分方程的幂级数解法可不讲。