安徽师范大学分析方法与技巧本科教学大纲

分析方法与技巧
课程类型：数学与应用数学专业本科选修课 周课时：2
选修年级：数本二下或三下
设计与实施单位：数学计算机科学学院函数论教研室
开设目的与课程特点：《分析方法与技巧》是教数学与应刚数学专业本科重要基础课《数学
分析》的延伸和深化。它的开设是本教研室集体教研活动和《数学分析》课程教学改革的一
个重要成果，鉴于《数学分析》教学周期长(2 年，四个学期)，内容多，对后继课乃至学
生专业素质的养成影响大且深远。随着教学计划的逐次改变，此课程的计划学时逐步减少，
教学压力很大，教师没有时间引导学生对分析数学中的基本思想方法与技巧反复琢磨，深入
理解。为了弥补这方面的缺憾，本教研室几位长期从事分析数学系列课程教学工作的教师在
三年集体教研活动的过程中形成共识，设计并开设了这门选修课。
《分析方法与技巧》以强化分析数学的“三基"(基本理论、基本思想、基本方法)训
练，促进学生提高数学思维和创新能力为目标，从教学内容到教学模式都和传统的课堂教学
大不相同。
课程内容均选白国内外数学专业文献，每个专题都有阅读材料，课前印发给学生。
教学模式：采取教师作引导，学生为中心，以学生自主学习讨论为主的形式，分专题进
行，具体程序是：
1、阅读文献(课前或课内进行)；
2、教师引导(老师讲解专题的背景，同顾和本专题有关的基础知识，说明其内容、
思想、方法在《数学分析》理论和应用中的地位及作用)；
3、报告讨论(学生持自己阅读、准备的资料上台报告，提出问题，进行讨论)；
4、总结引伸(专题讨论结束时，由老师对报告讨论进行总结，并适当引伸，提出进
一步思考的问题)。
在各专题的教学过程中，注意发挥学生的主动学习、创新思维的精神和能力。必要时，
教师可在课前做一些组织、启发、动员工作。
开设的具体目标：通过各专题按以上程序进行教学，希望有助于学生培养、提高下列
几方面的能力与水平：
1、独立思考与自主学习(包括查阅和研读数学专业文献)的能力；
2、专业表达(包括口头表达、报告和书面表达、板书)能力；
3、创新思维与论文写作的能力；
4、专业外语读写能力。
期未考查方式：每人写小论文(或学习总结报告)1 篇。
成绩评定： 以期末论文为主，结合各人在各专题报告讨论中发言的表现评定学期总成
绩。
课程内容大纲：
第一专题(6 学时)关于微分中值定理的证明
阅读资料：
1、华东师大数学系编，数学分析(上册)[M]，第三版，高教出版社，2001；
2、R．罗德，高等数学(第一卷)[M]，中译本，高等教育出版社，1965 年，第 80-81
页
贝；
3、Abian A，Aultimate proof of Rolle Theorem[J]，Amer．Math．Monthly,86(1979)，
484-485．
4、Samelson．H，On Rolle’S theorem[J]，Amer Math．Monthly,86(1979)，486；
5、Xu J ihong，An alternative approach about several theorems in calculus[J]，数学研究与
评论，26(2006)，no．1,63-66．
第二专题(4 学时)，关于实数系的构造
阅读资料：
1、王建午、曹之江、刘景麟，实数的构造理论[M]，人民教育出版社，1981；
2、M，克莱冈，古今数学思想(第 4 卷)[M】，上海科技出版社，1979；
3、胡作幺、邓明立，20 世纪数学思想[M]，山东教育出版社，1999；
4、华东师大数学系编，数学分析(上册)[M]，第三版，高等教育出版社，2001。
第三专题(4 学时)，关于函数一致连续性的若干问题
阅读资料：
1、Elysh，E．S，Laush，G L，and Levine，N，On the product of two uniformly continuous
functions on the line[J]，Amer Math．Monthly，67(1960)265—267；
2、刘儒珍，函数一致连续的一个等价命题[J]，天津师大学报，(1989)；
3、李文亮，函数在无穷区间上的一致连续性的判定[J]，高等数学，2(1985)；
4、殷建红，一致连续函数的充分必要判别法[J]，宁夏大学学报，2(1987)。
第四专题(4 学时)关于 Abe 1 判别法和 Dirichlet 判别法的进一步讨论
阅读资料：
1、宗序平，关于 Dirichlet 和 Abel 判别法的必要性[J]，数学的认识与实践，2(1 990)；
2、赵明方，Dirichlet 判别法的必要条件[J]，数学通报，7(1 983)；
3、罗敬辉，阿贝尔判别法的必要条件的探讨[J]，数学通报，9(1 984)。
第五专题(4 学时)混沌(Chaos)理论简介
阅读资料：
1、Li．T．Y，Yorke J A，Amer Math．Maonthly,82(1975)985；
2、郝柏林，物理进展，3(1983)329：
3、井中，从平凡的事实到惊人的结果[J]，自然杂志，第 8 卷第 7 期(1985)532．538；
4、J，M 米尔诺，从微分观点看拓扑[M]，上海科技出版社，1983；
5、Smale S．a，J Math，Economics，3(1976)107．
第六专题(4 学时)关于微积分中一些基本命题的统一处理
阅读资料：
1、华东师大数学系编，数学分析(上册)[M]，第三版，高等教育出版社，2001；
2、M，W Botsko，Aunified treatment of various theorems in elementary analysis[J]，Amer．
Math．Monthly,94(1987)450—452；
3、R．A Gordon，The use of tagged partitions in elementary real analysis[J]，Amer．Math．
Monthly,105(1998)：107—117；
4、M．W．Botsko etc，Stronger versions of fundamental theorem of calculus[J1，Amer．
Math．Monthly,93(1986)：294—296．
第七专题：(4 学时)不等式与凸函数
阅读资料：
1、Akerberg B．，Aproof of arithmetic geometric mean inequality[J]，Amer．Math．Monthly；
70(1 963)，997-998；
2、Kong。ming Chong，An inductive proof of the A．M—G M inequality[J]，Amer．Math．
Monthly,83(1976)：657—658；
3、波利亚，数学分析中的问题与定理[M]，上海科技出版社，1981；
4、华东师大数学系编，数学分析(第三版)[M]，高等教育出版社，2001；
5、L，Maligranda，Holder 不等式与 Minkowski 不等式的简单证明[J]，数学进展，1996，
15(1)，68—71；(译自 Amer．Math．Monthly,1995，102(3)，256．259)