安徽师范大学《高等数学续论》本科教学大纲

《高等数学续论》教学大纲
学 时：51 学 分：3
适用专业：计算机科学与技术专业
大纲执笔人：刘树德 大纲审定人：鲁世平
一、说 明
1、课程的性质：地位和任务
《高等数学续论》为计算机科学与技术专业的基础课程，内容包括线性代数
与概率论。它是高等数学的重要组成部分，也是理工科硕士研究生入学考试的必
试科目内容。通过本门课程的学习，使学生受到抽象、严谨的数学思维方法和数
学素质培养方面的严格训练，同时也为后继有关专业课程的学习获得必要的数学
理论知识。
2、课程教学的基本要求
（1）掌握行列式、阵矩代数、线性议程组、线性空间、线性变换、欧几里
得何和实二次型等有关内容的基本概念、基本理论和基本方法。使能具有比较熟
练的运算能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力。
（2）获得概率论的初步知识，基本内容有随机变量及其概率，一维随机变
量及其颁和随机变量的数学特征。使能应用所获得的基本知识与技能去分析问题
和解决问题。
3、课程教学改革
（1）加强教学内容的整合力度，以社会发展的新科技、新成果充实教学内
容，提高教学起点。注重知识内容的衔接，提高课程综合化程度。与此同时注重
素质教育，注重学生的个性发展，重视学生创新精神和创新能力的培养。
（2）深入进行教学方法的改革 彻底改变“一差堂”、“满堂灌”的传统教
学方法，多用启发式、讨论式、研究式的教学方法。拟在教学中对学生提高“识
记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”等四个能力层次要求，它们之间是递进
等级的关系，后者必须建立在前者的基础上，它们的含义是：
识记——了解有关的名词、概念、知识的意义，并能正确认识和表达。
领会——在识记的基础上，能全面把握基本概念和原理的区别与联系。
简单应用——在领会的基础上，能用学过的一、二个知识点，分析和解决简
单的问题。
综合应用——在简单应用的基础上，能用学过的多个知识点，综合分析和解
决较复杂的问题。
（3）运用现代化教育技术手段提升教学水平。鼓励教师制作 CAI 课件，使
用多媒体授课，加快计算机辅助教学软件的开发。
二、大纲内容
第一章 行列式（6 课时）
[内容要点]
行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算
按一行（列）展开行列式 拉普拉斯定理 范德蒙行列式
教学要求]
1、理解行列式的概念，熟悉行列式的性质。
2、了解拉普拉斯定理，熟练掌握按一行（列）展开行列式的规则。
3、掌握范德蒙行列式，并注意利用计算行列式。
4、能熟练、准确地计算行列式。
第二章 矩阵代数（8 课时）
[内容要点]
矩阵的代数运算 ｎ阶矩阵乘积的行列式 伴随矩阵 逆矩阵 矩阵的
初步变换 转置矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 对角形矩阵，正交矩阵 准对角
形矩阵 矩阵的分块 克莱姆法则
[教学要求]
1、理解矩阵及各种特殊类型矩阵的概念。
2、掌握矩阵的加法、数乘及乘法法则，能熟练、正确地进行矩阵的运算。
3、理解逆矩阵的概念，掌握判别矩阵可逆的条件以及利用伴随矩阵求逆矩
阵的方法。
4、了解矩阵的三种初等交换，熟练掌握运用矩阵的实等变换求逆矩阵的方
法。
5、了解分块矩阵的概念。
6、能运用克莱姆法则求解由几个议程组成的ｎ个方程的ｎ元线性方程组。
第三章 线性方程组（8 课时）
[内容要点]
向量级 线性组合 向量组的线性相关与线性无关 极大线性无关组 向
量组与矩阵的秩 线性方程组有解判定定理 矩阵消元法 线性方程 组解的结
构 齐次线性方程化的基础解系
[教学要求]
1、理解ｎ维向量的概念，能熟练进行向量的线性运算。
2、理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关以及极大线性无关组的概
念、掌握判断向量组线性相（无）关的方法。
3、理解向量组与矩阵的秩的概念，会运用初等变换求向量组或矩阵的秩。
4、理解线性方程组的解、特解、基础解系等概念，掌握线性方程组的解的
结构及有解判别定理，能熟练运用矩阵消元法求解齐次和非齐次线性方程组。
第四章 线性空间（4 课时）
[内容要点]
线性空间 线性子空间 ｎ维线性空间 基底向量的坐标 基底变换与坐
标变换
[教学要求]
1、理解线性空间，维数，基底以及线性子空间的概念，熟悉几个常见的线
性空间，如 n
F ，R n
，Cn
， mxn
M （F）， P n
[x]及 C[ａ，ｂ]等。
2、了解ｎ维线性空间 V 中的向量在取定基底下的坐标表示。深刻理解在取
定的基底下，建立 V 与 F n
的一一对应的重要性：V 中的向量在用坐标表示之后，
向量间的运算就归结为它们坐标的运算。
3、理解 V 中的向量在不同基底下的坐标之间的关系。了解基底变换与过渡
矩阵的概念，掌握 V 中的向量在基底变换下的坐标变换公式。
第五章 线性变换（8 课时）
[内容要点]
线性变换 基底的象可以被基底线性表出 线性变换在基底下矩阵 相似
矩阵 矩阵 A 的特征方程与特征多项式 矩阵的特征根与特征向量 相似矩阵
有相同的特征根 矩阵 A 的对应于不同特征根的特征向量是线性无关的 矩阵
的对角化
[教学要求]
1、了解线性变换的概念，理解在取定的基底下，建立 V 的线性变换与ｎ阶
矩阵的一一对应的重要性，使得线性变换的运算对应于ｎ阶矩阵的运算。
2、了解相似矩阵的概念，线性变换在不同基底下的矩阵是相似的。
3、掌握矩阵的特征根和特征向量的概念以及它们的计算方法。
4、掌握矩阵相似于对角形矩阵的条件，并能求出与之相似的对角阵以及变
换阵。
第六章 欧几里得空间（6 课时）
[内容要点]
两向量的内积 欧几里得空间 柯西—布沓柯夫斯基不等式 两向量的夹
角 正交向量组 标准正交基 施密特正交化方法 正交变换
[教学要求]
1、理解内积的概念及欧几里得空间的定义，掌握内积的运算及向量的模、
两向量夹角的计算方法。
2、正交向量组及标准正交基的概念，会运用施密特正交化方法将基底正交
化。
3、了解正交变换的概念以及正交变换的四个等价条件。
第七章 实二次型（6 课时）
[内容要点]
实二次型 二次型的矩阵 矩阵的二次型 坐标变换 矩阵的合同 二次
型的标准形规范形 惯性定理 正定二次形 正定矩阵 顺序主子式 用正交
变换化二次型为标准形。
[教学要求]
1、理解ｎ元实二次型 的概念以及二次型与对对称矩阵之间的对应关系。
2、理解合同矩阵的概念以及矩阵合同与二型变量变换（坐标变换）之间的
关系。
3、理解二次型的标准形与规范型的概念，会用配方法、矩阵合同变换法，
特别是正交变换法化二次型为标准形。
4、理解正定二次型与正定矩阵的概念，掌握判定二次型为正定二次型的常
用方法。
第八章 随机事件及其概率（10 课时）
[内容要点]
随机事件 样本空间 事件的关系及运算概率的公理化体系 概率的性质
古典概型 条件概率 乘法公式 事件的独立性 全概率公式 贝叶斯公式
独立试验概型 贝努里概型
[教学要求]
1、解随机事件、事件的概率、条件概率、事件的独立性等概念，熟悉用集
合的记号表示事件的关系及运算。
2、理解概率的公理化体系（非负性、规范性、完全可加性）以及概率的基
本性质。
3、熟知概率的加法公式，乘法公式，弄清与不相容 事件的有限可加性与无
限可加性及总体独立事件的乘法公式。
4、熟练掌握两种概率模型，古典概型、独立试验概型（特别情形称为贝努
斯公式。
第九章 随机变量及其分布（8 课时）
[内容要点]
随机变量 分布律 概率密度 分布函数 正态分布 随机变量函数的分
布
[教学要求]
1、正确理解随机变量的概念，用随机变量取什表示事件的方法以及这种转
化的意义。
2、熟知随机变量两种基本类型、离散型与连续型。
3、理解分布律、概率密度、分布函数的概念以及它们之间的关系。
4、掌握几个常见的离散型分布：（0-1）分布、二项分布，泊松分布，熟知
它们的分布律以及它们之间的关系。
5、掌握几个常见的连续型分布、均匀分布、指数分布、正态分布，特别是
标准正态分布，熟知它们的概率密度。
6、会用标准正态分布的分布函数 )(x 计算服从正态分布 N（ 2
, ）的随
机变量 落在区间[ａ，ｂ]内的概率。
7、会用忆知随机变量 的分布去求随机变量函数  ｇ )( 的分布。
第十章 随机变量的数字特征（4 课时）
[内容要点]
数学期望 数项级数的绝对收敛 广义积分的绝对收敛 方差 均方差或
标准差 几种常用分布的数学期望与方差 数学期望与方差的性质 标准化随
机变量
[教学要求]
1、掌握随机变量两个重要的数字特征——数学期望与方差的概念以及它们
的计算方法，特别是利用重要公式 D
22
)(  EE 
计算方差的方法。
2、熟记几个常用分布的数学期望与方差，如二项分布、泊松分布、均匀分
布、指数分布、正态分布等。
3、了解数学期望与方差的基本性质。
4、了解计算随机变量函数的数学期望的方法。
参考教材
[1] 四川大学数学系编，高等数学第三册，高等教育出版社，1990 年 5 月，第二
版。
[2]孙国正 杜先能，线性代数，安徽大学出版社，2004 年 6 月。
[3]孙国正 杜先能主编，概率论与数理统计，安徽大学出版社，2004 年 6 月。