安徽师范大学《高等数学》（文科）本科教学大纲

《高等数学》（文科）教学大纲
学时：4 学时\周
适用专业：经济专业等专业
大纲执笔人：陈平 大纲审定人：刘树德、鲁世平
一、 说明
1、 课程的性质、地位和任务
本课程是高等师范院校和综合性大学的一门公共课，它的任务是使学生获得微积分的有关概
念、极限与连续的定义性质、极限的求法、导数的定义与求导方法、微分与积分（包括定积
分与不定积分）的定义与方法、无穷级数的定义与性质、多元函数微积分、微分方程的基本
解法等方面的系统知识
2、 课程教学的基本要求
（1）掌握一元函数极限、连续、导数、微积分的概念与性质
（2）掌握多元元函数极限、连续、导数、微积分的概念与性质
（3）掌握无穷级数的定义与性质
（4）掌握微分方程的基本解法
3、 课程教学改革
（1）注重能力的培养、注重学生分析技巧的训练。此外，要培养学生利用微积分这一数学
工具解决专业知识问题、解决实际问题，从而达到培养学生应用能力的目的。
（2）注重本课程知识与其它相关课程例如《数学分析》、《常微分方程》、《宏观经济学》、《微
观经济学》等的联系
二、大纲内容
第一章 函数（4 课时）
[内容要点]
集合运算及运算律、隐函数与初等函数的定义
[教学要求]
回顾中学数学相关知识点，掌握集合运算及运算律、函数的性质、隐函数与初等函数的定义
等
第二章 极限与连续（ 16 课时）
[内容要点]
数列的极限、函数的极限、变量的极限、无穷大量与无穷小量、极限的运算法则、两个重要
的极限、函数的连续性
[教学要求]
（一） 了解各种极限的ε 语言定义
（二） 掌握 0
xx  时极限问题与函数在 0
xx  有无定义无关、了解极限的几何意义
（三） 掌握左右极限的定义，特别是利用左右极限讨论函数极限
（四） 掌握无穷大量、无穷小量的定义及二者之间的关系
（五） 掌握求极限的各种方法：
（１） 极限的运算法则
（２） 两个重要极限
（３） 多项式函数，时分母极限不为零的分式函数
（六） 掌握函数连续的概念、分析分段函数连续性与收敛性的方法及利用连续性求极限的
方法
第三章 导数与微分（12 课时）
［内容要点］
导数概念、导数的基本公式与运算法则、高阶导数、微分
［教学要求］
（一） 掌握导数定义的几种等价形式以及可导与连续的关系
（二） 掌握求导的基本公式、运算法则。特别是：
（１） 隐函数求导法
（２） 对数求导法
（三）掌握高阶导数、微分的概念以及微分基本公式
第四章 中值定理，导数的应用（20 课时）
［内容要点］
中值定理，洛比达法则，函数的增减性与极值，最大值与最小值，极值的应用问题，曲线的
凹向与拐点，函数图形的做法,变化率及相对变化率在经济中的应用（经济专业适用）
[教学要求]
（一） 了解中值定理的内容以及相互的联系
（二） 掌握洛比达法则
（三） 掌握函数增减性与极值的判别方法
（四） 了解最值与极值的联系与区别：最值是全局性概念，极值是局部性概念
（五） 掌握曲线凹向与拐点的判别方法及曲线渐近线的求法，了解函数图形的做法
（六） 掌握导数在边际分析与弹性分析的应用
第五章 不定积分（10 课时）
[内容要点]
不定积分的概念、性质，基本积分公式，换元积分法与分部积分法
[教学要求]
（一） 了解不定积分是导数的相反问题，不定积分的概念与几何意义
（二） 掌握不定积分的性质
（1） )(])([
/
xfdxxf 
（2） cxFdxxF  )()(
/
（3）   dxxfadxxaf )()( 0a
(4)    dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
（三） 熟记不定积分基本公式
（四） 掌握换元积分法与不定积分法 ：
（１） 形如 dxxxf )()]([
/

（２） 令 )(tx  ，将 dxxf )( 变形为 dtttf )()]([
/

（３） 分部积分公式   vduuvudv
第六章 定积分（18 课时）
[内容要点]
定积分的定义、基本性质，定积分与不定积分的关系，定积分的换元积分法与分部积分法，
定积分的应用，广义函数与Г 函数
[教学要求]
（一） 了解定积分的定义
（二） 掌握定积分的基本性质
(1) dxxfkdxxkf
b
a
b
a   )()( k 为常数
(2)  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
(3) dxxfdxxfdxxf
c
b
c
a
b
a   )()()( 点c 分 ],[ ba 为 ],[ ca 和 ],[ bc
(4) 如果在 ],[ ba 上, )()( xgxf  恒成立,则  
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
(5) abdx
b
a

(6) )()()( abMdxxfabm
b
a
  其中m , M 分别为 )(xf 在 ],[ ba 上的最小值与最大值
(7) 中值定理
（三） 掌握定积分与不定积分的关系
（四） 掌握定积分换元积分法与分部积分法
（五） 掌握定积分的应用
（１） 平面图形的面积
（２） 旋转体和已知平行截面面积的立体的体积
（六） 掌握广义积分的定义
（１） 无穷区间上的积分
（２） 无界函数的积分
（七） 了解Г 函数的定义与性质
第七章 无穷级数（6 课时）
[内容要点]
无穷级数的概念与基本性质、正项级数、任意项级数、绝对收敛、幂级数、泰勒公式与泰勒
级数，初等函数的幂级数展式
[教学要求]
（一） 掌握无穷级数的概念
（二） 掌握无穷级数的基本性质
（三） 掌握正项级数敛散性判别方法：
（１） 部分和数列有界
（２） 比较判别法
（３） 达朗贝尔比值判别法
（四） 掌握交错级数的莱不尼兹判别法以及任意项级数的敛散性判别法，绝对收敛与条件
收敛的关系
（五） 熟练掌握求幂级数收敛区间的方法与幂级数的性质
（六） 了解泰勒中值定理、泰勒公式、泰勒余项
（七） 掌握某些初等函数的幂级数展式（包括直接与间接展开法）
第八章 多元函数（6 课时）
[内容要点]
空间解析几何简介、多元函数的概念、二元函数的极限与连续、偏导数与全微分、隐函数与
复合函数微分法、二元函数的极值、二重积分
[教学要求]
（一）掌握空间解析几何的基本知识
（１） 了解空间直角坐标系
（２） 掌握空间任意两点距离公式
（３） 了解空间曲面与方程 0),,( zyxF 的对应关系
（二）了解多元函数的概念以及二元函数的定义域与几何意义
（三）掌握二元函数极限与连续的定义
（四）掌握偏导数的定义与求法
（五）掌握全微分的定义与求法
（六）掌握隐函数与复合函数微分法
（七）掌握二元函数极值的定义以及极值存在的充分条件与必要条件，了解条件极值与拉格
朗日乘数法、最小二乘法
（八）了解二重积分的定义，掌握二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法：
（１） 直角坐标系下的二重积分化为累次积分
（２） 极坐标系下的二重积分化为累次积分
第九章 微分方程与差分方程简介（6 课时）
［内容要点］
微分方程的一般概念、一阶微分方程、几种二阶微分方程、二阶常系数线性微分方程、差分
方程的一般概念
[教学要求]
（一） 了解微分方程的一般概念
（二） 了解一阶微分方程的一般形式、掌握几种一阶微分方程的解法：
(1) 可分离变量的一阶微分方程 dxxgdxxf )()( 
(2) 齐次微分方程 )(
x
y
f
dx
dy

(3) 一阶线性齐次微分方程的变量分离法,一阶线性非齐次微分方程 )()( xqxp
dx
dy

的常数变易法,熟记线性方程的通解公式
（三） 了解二阶微分方程的一般形式，掌握几个可降为一阶微分方程的二阶微分方程的解
法:
(1) )(xfy  积分两次的方法
(2) ),( yxfy  令 )(xpy 
(3) ),( yyfy  令 )( ypy 
（四） 掌握二阶常系数线性微分方程的解法:
(1) 二阶常系数线性齐次微分方程
(2) 二阶常系数线性非齐次微分方程
（五） 了解差分方程的一般概念
参考教材：赵树嫄 《微积分》 中国人名大学出版社 1998 年第 2 版
孙国正《高等数学》安徽大学出版社 2003 年