安徽师范大学《常微方程》本科教学大纲

《数学系（常微分方程）》教学大纲
学时：64 学时 学分：3 理论学时：51 学时
适用专业：数学、系统科学与工程及控制理论与应用等专业。
大纲执笔人：鲁世平 大纲审定人：刘树德
一、说明(500 字左右)
1、 课程的性质、地位和任务
本课程是高等师范院校数学专业和综合性大学数学专业、系统科
学与工程专业、控制理论与应用等专业的一门重要基础课程，它
的任务是使学生获得微分方程的有关概念、一阶微分方程的初等
解法、微分方程解的存在、唯一性定理、线性微分方程解的理论、
线性微分方程的求解方法和线性微分系统理论及其解法等方面的
系统知识。
2、 课程教学的基本要求
（1） 掌握微分方程的概念以及一阶微分方程的初等解法。 对微
分方程解的存在性和唯一性定理证明的思想有较深刻的认
识。熟练掌握线性微分方程和线性微分系统的理论和各种
解法，特别是非齐次线性方程的解法，掌握常数变易法与
其它方法的区别。
（2） 系统掌握微分方程的基本概念：微分方程的初值问题的解、
函数线性相关和线性无关、Wronsky 行列式、常数变易法、
基解矩阵等。掌握微分方程有关解的存在性的证明方法；
获得较熟练的计算技能和初步的应用能力。
（3） 本课程总教学时数为 70 课时，其中理论课时为 57，讨论课
时为 13。
3、 课程教学改革
（1） 注重能力的培养
在教学本课程时，要注重学生变量变换和分析技巧的训练，
使得这些技巧成为学生进一步学习和研究的专业技能。此外，要
培养学生利用所学的知识解决实际问题，从而达到培养学生应用
能力的目的。
（2） 注重本课程知识与其它相关课程的联系
在讲授此课程时，要注重本课程与相关课程《线性代数》、《数
学分析》和《力学》等之间的联系。
二、大 纲 内 容
第一章：基 本 概 念（3 课时）
[内容要点]
常微分方程。 微分方程的解、通解与特解、初始条件与初值
问题、方向场与积分曲线、微分方程的实际问题举例
[教学要求]
1．理解微分方程及其解的定义。掌握微分方程的一些基本概念，
如微分方程的阶数、线性与非线性，通解与特解，初始条件与
初值问题等。
2．理解微分方程及其解的几何解释。从理论上说，它把作为解析
对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线
沟通起来，从而在微分方程这门学科中建立了数与形之间的联
系；从实用上说，我们可以通过做出方向场来画出积分曲线的
大概图形。
3．通过本章例题的学习，初步了解本门学科的某些实际背景。
第二章 一阶微分方程的初等解法（12 课时）
[内容要点]
变量分离方程式、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程
恰当方程与积分因子、一阶隐方程及其解法。Riccati 方程及其解法。
[教学要求]
（一） 掌握可分离变量
)()( yxf
dx
dy

的解法
（二） 掌握可化为变量分离方程的解法：
（1）齐次方程







x
y
g
dx
dy
的变量变换
x
y
u  及其解法。
（3） 形如方程
222
111
cybxa
cybxa
dx
dy



和 










222
111
cybxa
cybxa
f
dx
dy
的变量变换及其解法。
（4） 掌握线性方程
)()( xQyxP
dx
dy

的解法，即常数变易法，熟记线性方程的通解公式。
（5）了解 Cauchy 问题







00
)(
)()(
yxy
xQyxP
dx
dy
特解的求法和特解表达式及其应用。
（6） 掌握利用变量变换将 Bernoulli 方程
1,0,)()(  nyxQyxP
dx
dy n
化为线性方程的方法，从而可求出其通解。
（三）掌握恰当方程的判别方法和恰当方程的通解求法。掌握
分项组合的方法求恰当方程的通解。
（1）掌握积分因子的概念和非恰当方程的积分因子解法。
（2）掌握存在仅与 x 和 y 有关的积分因子的条件及求法。
（3）了解其它积分因子的求法。
（四）掌握一阶隐方程的参数表示及通解的求法。
（五）了解求解 Riccati 方程通解的历史，从而知道微分方程初等
解法的局限性。
第三章 一阶微分方程的解的存在定理（9 课时）
[内容要点]
Lipschitz 条件、一阶微分方程解的存在唯一性定理、一阶微分
方程解的延拓定理、一阶微分方程解关于初值连续和可微性定理。
[教学要求]
（一）熟记一阶微分方程
   
 




00
,
yxy
yxfxy
解的存在唯一性定理的条件和结论。
（二）了解皮卡逐步逼近法和一阶微分方程解的存在唯一性定理
的证明。
（三）掌握 Lipschitz 条件主局部 Lipschitz 条件的概念。
（四）掌握一阶微分方程解的延拓定理的证明方法，熟记饱和解
的概念，对特定的区域 G 了解在其上定义的一阶微分方程
饱和解存在区间的可能情况。
（五）了解一阶微分方程解对初值的连续性和可微性。
（六）熟记一阶微分方程解  00
,, yxxy  对初值的可微公式：
 
 














x
x
dx
y
xf
yxf
x
0
,
exp, 00
0

 














x
x
dx
y
xf
x
0
,
exp
0

  00
,,, yxxxf
x





第四章 高微分方程（14 课时）
[内容要点]
函数线性相关、线性无关；Wronsky 行列式；齐次线性微分方程通
解结构定理；非齐次线性微分方程通解结构定理；常数变易法；
常系数齐次线性微分方程解法；利用比较系数法和 Laplace 变换法
求非齐次常系数线性微分方程的通解；欧拉方程及其通解的求法；
二阶线性方程的幂级数解法。
[教学要求]
（一）掌握函数线性相关、线性无关；Wronsky 行列式和基本解组
等概念。
（二）掌握齐次线性微分方程
      011
1
1
 

xta
dt
dx
ta
dt
xd
ta
dt
xd
nnn
n
n
n

通解结构定理。
（三）掌握非齐次线性微分方程通解结构定理
       tfxta
dt
dx
ta
dt
xd
ta
dt
xd
nnn
n
n
n
 

11
1
1

利用常数变易法求其通解。
（四）掌握常系数齐次线性微分方程和欧拉方程的解法。
（五）利用比较系数法和 Laplce 变换法求常系数非齐次线性方程
的通解。
（六）利用未知函数变换的方法求解可降阶的一些方程。
（七）掌握二阶变系数线性微分方程的幂级数解法。
（八）了解第二宇宙速度的计算和质点振动理论及其应用。
第五章 线性微分方程组（13 课时）
[内容要点]
矩阵函数连续、导数和积分等概念；线性微分方程组的初值问题
解的存在唯一性定理；线性微分方程组通解结构定理；基解矩阵；
求解线性微分方程组。
[教学要求]
（一）掌握矩阵函数连续、导数和积分等概念。
（二）了解线性微分方程组初值问题解存在唯一性定理及其证
明。
（三）掌握利用常数变易法求解非齐次线性微分方程。
（四）掌握常系数线性微分方程组的解法。
（五）掌握基解矩阵的计算。
（六）了解利用 Laplace 变换法求解非齐次常系数线性微分方程
组。
参考教材：王高雄 、周之铭等 中山大学 2003 年第四版和北京
大学 2002 年第三版。