安徽工业大学811高等代数考研真题

2016年全国硕士研究生入学考试招生单位自命题试卷 A卷
811（A 卷）第 1 页，共 3 页
安徽工业大学 2016 年硕士研究生招生专业基础课试卷（A 卷）
科目名称： 高等代数 科目代码： 811 满分： 150 分
考生请注意：所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或者草稿纸上的一律无效！
一、设多项式 14)(
4
 kxxxf ，k 为整数 (15 分)
1、证明： )( xf 在有理数域上不可约；（8 分）
2、设 1)(  xxg ，求 ))(),(( xgxf ，以及 )(),( xvxu ，使得
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ))u x f x v x g x f x g x  .（7 分）
二、计算 n 级行列式（10 分）
n
D =
baa
baa
bbaa
bba









000
000
00
000
三、已知n 阶方阵A 的秩为 1,（20 分）
（1）证明：存在n 维非零列向量  , ，使得 T
A  ，此时验证
AAtrAA
T
)()(
2
  , )( Atr 表示A 的迹（即对角线元素的和）；（5 分）
（2）设 T
A  ,  n
aaa ,,, 21
 ，  n
bbb ,,, 21
 且 0
2
A ，求 A
的特征值和特征向量；（10 分）
（3）证明： AAAtrAAA
TT
)( .（5 分）
四、A 是一个实矩阵. 证明： 秩( AA
T
)=秩( A ) （其中
T
A 表示矩阵 A 的
转置矩阵）. (10 分)
五、设 1
[1 4 1 0, 2] ,
T
  ，，， 2
[2 5 1 3, 2] ,
T
   ，， ， 3
[ 1 2 5 6, 2] ,
T
   ，，，
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4
[0 2 2, 1, 0] ,
T
  ，， （10 分）
1、求该向量组的秩及其一个极大线性无关组；（8 分）
2、将其余向量用这个极大线性无关组线性表示. (2 分)
六、设














324
1
223
kkA ，（15 分）
(1)求k 的值，使A 相似于对角矩阵；（8 分）
(2)求可逆矩阵P ，使 APP
1
为对角阵.（7 分）
七、求一正交线性替换，化下列二次型为标准形
323121
2
3
2
2
2
1
844552 xxxxxxxxx  .（15 分）
八、设方程组











bxxxx
xaxxx
xxxx
xxxx
4321
4321
4321
4321
6
1723
1462
032
讨论 ba， 取何值，方程组有解或无解，并在有解时求出全部解（用基础解
系表示）。（20 分）
九、设A 、 B 均为n 阶实对称矩阵，证明:（20 分）
1、当实数t 充分大之后， AtE  是正定矩阵；（5 分）
2、若A 是正定矩阵，则 1
A ， *
A （A 的伴随矩阵）均正定；
若
*
A 正定，举例说明 A 不一定是正定矩阵；（10 分）
3、若A 、B 均正定，且 BAAB  ，则AB 也是正定矩阵.（5 分）
十、设 为数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换，且满足  
2
，证明：
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（15 分）
（1）  V

 )()(0
1
；
（2） )()( VV  

0
1
；
（3）如果 是V的线性变换， )(),( 0
1
 V 是 的不变子空间当且仅当   .
（试题完）