武警学院数学－高起专函授（高起专）招生复习考试大纲

1
数 学
总体要求
1.考生应该掌握中学数学的基本知识、基本技能和基本方法。
2.考生应具备空间想象、归纳抽象、演绎证明、体系构建等数学思维能力。
3.考生应具有运用所学数学知识和方法分析和解决实际问题的能力。
复习考试内容
第一部分 代数
一、集合与简易逻辑
（一）理解集合的概念及其表示方法。
（二）理解空集、全集、子集、真子集、交集、并集、补集等概念，会进行简单的集合运算。
（三）了解逻辑联结词和四种命题的关系，会判断命题的充分条件、必要条件和充要条件。
（四）会利用反证法进行证明。
二、数、式、指数与对数
（一）理解有理数、无理数、实数、相反数、倒数、算术平方根的概念，会进行有关运算。
（二）理解整式、分式、二次根式的概念，掌握它们的性质和运算法则。
（三）理解指数概念，并会进行指数运算。
（四）理解对数概念，掌握对数的性质及运算法则，会利用对数的性质、运算法则及有关公式进行计
算、化简和简单的证明，了解常用对数的概念。
三、方程与方程组
（一）掌握一元一次和一元二次方程的解法，能运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解
决有关问题。
（二）会解二元一次方程组和三元一次方程组。
（三）会解几种较简单的二元二次方程组。
四、不等式与不等式组
2
（一）掌握不等式的性质。
（二）会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式。
（三）会解一元二次不等式。
（四）了解绝对值不等式的性质，会解简单的绝对值不等式。
（五）理解区间的概念，会在数轴上表示不等式或不等式组的解集。
五、函数
（一）理解函数的概念，会求常见函数的定义域。
（二）了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握增函数、减函数及奇函数、偶函数的图象以及特征。
（三）理解一次函数、反比例函数的概念，掌握他们的图象和性质，会求它们的解析式。
（四）理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质，会求二次函数的解析式及最大值和最小值，能灵
活运用二次函数的知识解决有关问题。
（五）理解幂函数、指数函数、对数函数的概念，掌握它们的图象和性质，会运用它们解决有关问题。
（六）会解简单的指数方程和对数方程。
（七）了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。
六、数列
（一）理解数列及其有关概念。
（二）理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前 n 项和公式解决有关问
题。
（三）理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前 n 项和公式解决有关问题。
七、排列、组合与二项式定理
（一）了解加法原理和乘法原理。
（二）理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式。
（三）会解排列、组合的简单的应用题。
（四）了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解决简单问题。
第二部分 三角
一、三角函数及其有关概念
（一）理解正角、负角、零角、象限角以及终边相同的角的概念。
（二）理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算。
3
（三）理解任意角的三角函数的概念，掌握三角函数在各个象限内的符号，熟记特殊角的三角函数值。
二、 三角函数式的变换
（一）掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明。
（二）掌握两角和、两角差、二倍角以及半角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简
和证明，了解和差化积与积化和差公式。
三、三角函数的图像和性质
（一）掌握正弦、余弦函数的图像和性质，会用这两个函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性
和单调性）解决有关问题。
（二）掌握正切、余切函数的图像和性质。
（三）了解函数 xAy sin 、 )sin(  xy 、 xy sin 、 )sin(   xAy 的图像与 xy sin 的
图像之间的关系，会用“五点法”画出它们的简图，会求函数 )sin(   xAy 的周期、最大值、最小值
和初相位。
四、解三角形
（一）掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。
（二）掌握正弦定理、余弦定理，会用它们解斜三角形及应用题，会根据三角形两边及夹角求三角形
的面积。
第三部分 平面解析几何
一、平面向量
（一）理解向量概念，掌握向量加法、减法的平行四边形运算法则以及三角形运算法则。
（二）掌握向量的坐标表示法及其运算规则，掌握向量数量积的运算方法。
（三）掌握定比分点的计算公式，中点坐标公式。
二、直线与圆的方程
（一）理解直线的倾角和斜率的概念，会求直线的斜率。
（二）会求直线方程，会求两直线的交点。
（三）掌握两条直线平行与垂直的条件及点到直线的距离公式，会讨论两直线的位置关系。
（四）了解两直线所成角的计算公式。
（五）理解曲线方程的概念，了解曲线和方程的关系，会求动点的轨迹方程。
（六）掌握圆的标准方程和一般方程的形式。
4
（七）掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程。
三、圆锥曲线
（一）理解椭圆、双曲线、抛物线的概念。
（二）掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质。
（三）了解坐标轴的平移公式，会用平移公式化简圆锥曲线方程。
第四部分 立体几何
一、空间直线、平面与空间向量的坐标运算
（一）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条
直线、直线和平面的各种位置关系图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
（二）掌握直线和平面平行的判定定理和性质，理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的
判定定理和性质,了解三垂线定理及其逆定理。
（三）掌握两平面平行、垂直的判定定理和性质。
（四）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只
要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
二、多面体和旋转体
（一）理解并掌握棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体的概念及性质，会计算它们的表面积和体积。
（二）理解并掌握棱锥、正棱锥的概念及性质，会计算它们的侧面积、表面积和体积，了解正棱台的
侧面积公式和体积公式，会计算它们的表面积。
（三）理解圆柱、圆锥的概念和性质，会画它们的侧面展开图，会计算它们的侧面积，表面积和体积。
（四）理解球的概念和性质，会计算球面面积和球体体积。
考试形式及试卷结构
试卷总分：150 分
考试时间：120 分钟
考试方式：闭卷，笔试
试卷内容比例：
代数 约 40%
5
三角 约 25%
平面解析几何 约 25%
立体几何 约 10%
试卷题型比例：
客观题 约 60%
主观题 约 40%
试卷难易比例：
容易题 约 30%
中等难度题 约 50%
较难题 约 20%
样 题
一、选择题：1～17 小题，每小题 5 分，共 85 分。
1.已知集合 {2,3, 4}, {1,3,5}A B  ，则 A B  ( ) 。
(A) {1, 3, 4} (B) {1, 2, 5} (C) {3} (D) {1, 2,3, 4,5}
2.已知函数 1
2
( )
2 2
x
x
a
f x 
 


是定义在 R 上的奇函数，则 a 的值是 ( ) 。
(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2
3.函数
5
sin(2 )
2
y x

  图像的一条对称轴方程是 ( ) 。
(A)
2
x

  (B)
4
x

  (C)
8
x

 (D)
5
4
x


4.在等差数列{ }n
a 中，已知 5 8
8, 17a a  ，则 14
a  ( ) 。
(A) 15 (B) 15 (C) 35 (D) 35
5.函数
2
( 1)
x
y a  在 R 上是减函数，则 a 适合的条件 ( ) 。
(A) 1 | | 2a  (B) 1 2a  (C) 2 1a    (D) 2 2a  
6.不等式
3
0
1
x
x



的解集是 ( )。
(A) { | 3 1}x x   (B) { | 3 1}x x x  或
6
(C) { | 3 1}x x x  或 (D) { | 3 1}x x  
7.已知点 (3, 2)P 与点 (1, 4)Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )。
(A) 1 0x y   (B) 0x y  (C) 1 0x y   (D) 0x y 
8.二次不等式
2
0ax bx c   的解集为全体非负实数的条件是 ( )。
(A)
0
0
a 

 
(B)
0
0
a 

 
(C)
0
0
a 

 
(D)
0
0
a 

 
9.给定命题 :| 2 1 | 1p x   , 034:
2
 xxq ，则 p 是 q 的 ( )。
(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分条件也不必要条件
10.已知
3 3
sin , cos
5 4
   ，且 ,  都是锐角，则sin( )  的值是 ( )。
(A)1 (B) 1 (C)0 (D)
9 7
20 5

11.球面上有 , ,A B C 三点， 18, 24, 30,AB BC AC   且球心到平面 ABC 的距离为半径的
1
2
，那
么这个球球的半径为( )。
(A) 10 3 (B) 10 (C) 20 (D) 30
12.直线 2 0x y   被圆
2 2
( ) 4x a y   所截得的弦长为 2 2 ，则实数a 的值为( )。
(A) 1 3 或 (B) 1 3或 (C) 2 6 或 (D) 0 4或
13.若直线 0Ax By C   经过第一、二、三象限，则( )。
(A) 0, 0AB BC  (B) 0, 0AB BC 
(C) 0, 0AB BC  (D) 0, 0AB BC 
14.平面上到定点 1 2
( 5, 0), (5, 0)F F 的距离之差绝对值等于 8 的点轨迹方程是 ( )。
(A)
2 2
1
16 9
x y
  (B)
2 2
1
25 16
x y
 
(C)
2 2
1
25 9
x y
  (D)
2 2
1
9 16
x y
 
7
15.抛物线的顶点在原点，焦点坐标是
1
(0, )
4a
，则抛物线的方程是( )。
(A)
2
x ay (B)
2
x ay  (C)
2
y ax (D)
2
y ax 
16. 4 名男生和 3 名女生排成一行，女生互不相邻，排法共有( )。
(A)
2
(4!) (B) 4! 3! (C)
3
4
4!A (D)
3
5
4!A
17.已知向量 (1,3), ( , 3)a b x   ，且 a b ，则( )。
(A) 9 (B) 9 (C) 1 (D) 1
二、填空题：18～21 小题，每小题 5 分，共 20 分。
18.在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AD、BC 的中点，现沿 EF 将正方形折成直二面角，M 为 CF 的
中点，则异面直线 CE 与 BM 所成角的余弦值为 _____________。
A B
CD
E
F
M
19.函数 2 sin( )
3
y x

  的单调递增区间为_________。
20.比较 0.8
3 _________ 3
log 0.8 大小。
21.在
8
3
1
( )
2
x
x
 的展开式中的常数项是_________。
三、解答题：22～25 小题，共 49 分。
22.(本小题满分 12 分)
已知数列{ }n
a 的前 n 项和
3
3
2
n n
S a  。
(1)求 1
a ；(2)证明{ }n
a 是等比数列，并求{ }n
a 的通项公式。
23.(本小题满分 12 分)
已知 ,  为锐角，
3 1
sin , tan( )
5 3
      ，求 cos 。
24.(本小题满分 12 分)
求以双曲线
2 2
1
4 12
x y
   的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程。
8
25.(本小题满分 13 分)
已知函数 1
2
1
( ) log (( ) 1)
2
x
f x   ，
（1）求 ( )f x 的定义域；
（2）判断 ( )f x 的单调性。
参考答案
一、选择题：
1~5:D A A C A，6~10:D A B D D，11~15：A D D A C，16~17:D A
二、填空题：
18.
10
10
， 19. ]
6
2,
6
7
2[



  kk ， 20.  ， 21. 7
三、解答题：
22.解：（1）当 1n  时， 1 1 1
3
3
2
S a a   ，故 1
6a 
（2）当 1n  时， 1 1
3 3
2 2
n n n n n
a S S a a 
    ，即 1
3n n
a a 
 ，从而 2 3
n
n
a   。
23.解：
2 4
cos 1 sin
5
    ，
3
tan
4
  ，
故
tan tan( ) 13
tan tan[ ( )]
1 tan tan( ) 9
  
   
  
 
    
  
，
从而
2
1 9 10
cos
501 tan


 

。
24.解：双曲线的焦点为 (0, 4) ,顶点为 (0, 12 ) ，故椭圆焦点为(0, 12 ) ，顶点为(0, 4)
即 4, 12a b  ，从而椭圆方程为 1
1216
22

yx
。
25.解：（1）由题意知，
1
( ) 1 0
2
x
  ，故定义域为(0, ) 。
（2）令
1
( ) 1
2
x
u   ， 1
2
1
( ) 1, log
2
x
u y u   在定义域内都是减函数，故 1
2
1
log (( ) 1)
2
x
y   在定义
域内为增函数。