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2018年中国农业大学701数学(自命)考研大纲
701 数学(自命)考试科目大纲 考试科目:高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等数学约 56% 线性代数 约 22% 概率论与数理统计约 22% 四、试卷题型结构 单项选择题 8 小题,每小题 4 分,共 32 分 填空题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分 解答题(包括证明题)9 小题,共 94 分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、 分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数关系的建立;数列极限与函数 极限的定义及其性质;函数的左极限和右极限;无穷小量和无穷大量的概念及其关系;无穷 小量的性质及无穷小量的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则;单调有界准则和夹 逼准则;两个重要极限;函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间 上连续函数的性质。 考试要求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题中的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个 重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法,了解无穷大量的概念 及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判断函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、 最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念;导数的几何意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的 切线和法线;导数和微分的四则运算;基本初等函数的导数;复合函数和隐函数的微分法; 高阶导数;微分中值定理;洛必达(L’Hospital)法则;函数单调性的判别;函数的极值;函数 图形的凹凸性、拐点及渐近线;函数的最大值与最小值. 考试要求 1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义,会求平面曲 线的切线方程和法线方程. 2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求 分段函数的导数,会求隐函数的导数. 3.了解高阶导数的概念,掌握二阶导数的求法. 4.了解微分的概念、运算法则以及导数与微分之间的关系,会求函数的微分. 5.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理,掌握这两个定理的简单 应用. 6.会用洛必达法则求极限. 7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小 值的求法及应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线(水平、铅直渐近 线). 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念;不定积分的基本性质,基本积分公式;定积分的概念和基本 性质,定积分中值定理,积分上限的函数与其导数;牛顿-莱布尼茨公式;不定积分和定积 分的换元积分方法与分部积分法;反常(广义)积分;定积分的应用. 考试要求 1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质与基本积分公式,掌握不 定积分的换元积分法与分部积分法. 2.了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限的函数并会求 它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法与分部积分法. 3.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积. 4.了解无穷区间上的反常积分的概念,会计算无穷区间上的反常积分. 四、多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念;二元函数的几何意义;二元函数的极限与连续的概念;多元函数偏导 数的概念与计算;多元复合函数的求导法与隐函数求导法;二阶偏导数;全微分;多元函数 的极值和条件极值;二重积分的概念、基本性质和计算. 考试要求 1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念. 3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求 全微分,会求多元隐函数的偏导数. 4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二 元函数极值存在的充分条件. 5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标). 五、常微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念;变量可分离的微分方程;一阶线性微分方程. 考试要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的求解方法. 线性代数 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质;行列式按行(列)展开定理. 考试要求 1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念;矩阵的线性运算;矩阵的乘法;方阵的幂;方阵乘积的行列式;矩阵的转 置;逆矩阵的概念和性质;矩阵可逆的充分必要条件;伴随矩阵;矩阵的初等变换;初等矩 阵;矩阵的秩;矩阵的等价。 考试要求 1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩 阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积 的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,了解伴随矩 阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用 初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法. 三、向量 考试内容 向量的概念;向量的线性组合与线性表示;向量组的线性相关与线性无关;向量组的极 大线性无关组;等价向量组;向量组的秩;向量组的秩与矩阵的秩之间的关系. 考试要求 1.了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则. 2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关与线性无关等概念,掌握向量组 线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组和秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系. 四、线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则;线性方程组有解和无解的判定;齐次线性方程组 的基础解系和通解;非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组的解之间的关系;非齐 次线性方程组的通解. 考试要求 1.会用克莱姆法则解线性方程组. 2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法. 3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的 求法. 4.了解非齐次线性方程组的结构及通解的概念. 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 五、矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质;矩阵相似的概念及性质;矩阵可相似对角化的 充分必要条件及相似对角矩阵;实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵. 考试要求 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念,掌握矩阵特征值的性质,掌握求矩阵特征值 和特征向量的方法. 2.了解矩阵相似的概念和相似矩阵的性质,了解矩阵可相似对角化的充分必要条件, 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3.了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间;事件的关系与运算;概率的基本性质;古典型概率;条件概率; 概率的基本公式;事件的独立性;独立重复试验. 考试要求 1.了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算. 2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率,掌握概率 的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式. 3.理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概 念,掌握计算有关事件概率的方法. 二、随机变量及其分布 考试内容 随机变量;随机变量的分布函数的概念及其性质;离散型随机变量的概率分布;连续型 随机变量的概率密度;常见随机变量的分布;随机变量函数的分布。 考试要求 1.理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事 件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布及 其应用. 3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及 其应用. 4.会求随机变量简单函数的分布. 三、多维随机变量及其分布 考试内容 二维随机变量及其分布;二维离散型随机变量的概率分布和边缘分布;二维连续型随机 变量的概率密度和边缘概率密度;随机变量的独立性和不相关性;常用二维随机变量的分布; 两个随机变量简单函数的分布. 考试要求 1.理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的分布的概念和性质,理解二维离散 型随机变量的概率分布和边缘分布,理解二维连续型随机变量的概率密度和边缘密度,会求 与二维离散型随机变量相关事件的概率. 2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念,了解随机变量相互独立的条件. 3.了解二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,了解其中参数的概率意义. 4、会求两个独立随机变量和的分布. 四、随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质;随机变量简单函数的数学期望、 矩、协方差和相关系数及其性质. 考试要求 1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概 念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征. 2.会求随机变量简单函数的数学期望. 五、大数定律和中心极限定理 考试内容 切比雪夫(Chebyshev)不等式;辛钦大数定律. 考试要求 1.了解切比雪夫不等式. 2.了解辛钦大数定律. 六、数理统计的基本概念 考试内容 总体,个体,简单随机样本;统计量,样本均值,样本方差和样本矩; 2 分布,t 分 布, F 分布,分位数,正态总体的常用抽样分布. 考试要求 1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念. 2.了解 2 分布, t 分布和 F 分布的概念和性质,了解分位数的概念并会查表计算. 3.了解正态总体的常用抽样分布.
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