2018年中国海洋大学实变函数考研大纲

中国海洋大学
2018 年硕士研究生招生考试大纲
011 数学科学学院
复试考试大纲
实变函数
一、考试性质
《实变函数》是中国海洋大学数学相关专业硕士研究生入学考试复试科目。
二、考察目标
实变函数是近代分析数学的基础，是数学分析的延续与拓广。考试以考察基
本知识为主，考核对重要定理的理解和应用。旨在测试考生对集合论、可测集、
可测函数、可积函数等基本定义概念的理解和掌握。要求考生理解实变函数的基
本概念和基本理论；掌握其基本论证方法和常用结论；具备较强的逻辑推理能力
及初步的应用能力。
三、考试形式
本考试为闭卷考试，满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。
试卷结构：客观题 30%、简答题占 30%，证明题占 40%。
四、考试内容
（一）集合论
1 集合的各种运算，上、下限集的定义
2 集合的对等，集合的基数，集合的可列性；
3 开集、闭集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性质；点集的内部、导
集、闭包、边界；Cantor 三分集的结构和性质；
4 点到集合的距离，集合间的距离。
（二）可测集
1.外测度、测度和可测集的概念及其性质，集合可测性的判别方法；
2.开集、闭集的可测性，以及它们与可测集之间的联系。
（三）可测函数
1.可测函数的概念及其性质；
2.函数可测性的判别方法，其与简单函数的联系；
3.可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致
收敛、近一致收敛、测度收敛）；
4.可测函数和连续函数的联系
5.叶果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、鲁津(Rusin)定理的含义
及应用；
（四）Lebesgue 积分
1.Lebesgue 积分的定义及其性质，函数可积性的判定；
2.积分收敛定理（勒维(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和 Lebesgue 控制收敛
定理，Vitali 定理）及应用；
3.Riemann 积分与 Lebesgue 积分之间的区别和联系； Fubini 定理。
五、是否需使用计算器
否。