2018年中国海洋大学常微分方程考研大纲

中国海洋大学
2018 年硕士研究生招生考试大纲
011 数学科学学院
复试考试大纲
常微分方程
一、考试性质
常微分方程是中国海洋大学数学科学学院硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考察目标
要求考生能正确理解常微分方程的基本概念，掌握一些基本理论和各种类型方
程求解的主要方法，具有一定的解题能力。同时，要求考生生具有分析与解决问题
的能力。
三、考试形式
本考试为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
试卷结构：选择题 30%；计算题 20%； 综合题 20%；证明题 30%
四、考试内容
考试内容：初等积分法；基本定理；一阶线性微分方程组；n 阶线性微分
方程；定性理论与稳定性理论简介；一阶偏微分方程初步。
1．初等积分法部分：要求考生能用初等（积分）解法求解常微分方程的可
积类型，掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。
重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。
2．基本定理部分包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连
续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。解的存在唯
一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与
唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，
由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际
意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重
要性质。要求考生必需理解上述定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理
证明有关问题。重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理
证明过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握。
3．一阶线性微分方程组是常微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角
度或从理论的角度来说，一阶线性微分方程组所提供的方法和结果都是非常重要
的。要求考生：1. 掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构；
2.基解矩阵求法。一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但
当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法（Jordan 标准型、矩阵指数）
求出基解矩阵。3.重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分
方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是 n 维线性空间和
一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。
4．n 阶线性微分方程是值得重视的方程，这不仅仅因为 n 阶线性微分方程
的一般理论已被研究的十分清楚，而且它是研究非线性微分方程的基础，它在物
理、力学和工程技术中也有广泛的应用。要求考生重点掌握 n 阶线性微分方程的
基本理论和常系数 n 阶线性微分方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线
性方程的幂级数解法作简单了解。熟悉 Laplace 变换是求解 n 阶常系数线性微分
方程初值问题的方法。把握 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，
能够将一阶线性微分方程组的有关结果推广到 n 阶线性微分方程，以统一的观
点理解这两部分的内容。
5．定性理论与稳定性理论简介主要介绍定性理论和稳定性理论，定性理论
产生与发展与生产实践和物理、力学以及工程技术问题紧密联系，它主要研究轨
线在相平面或相空间的分布以及极限环或周期轨的稳定性和不稳性等问题。稳定
性理论研究平衡态的稳定性问题，主要研究方法是李雅普诺夫第一方法和第二方
法。在现代科学技术中，无论是定性理论还是稳定性理论都有着极其广泛的应用。
要求学生对定性理论和稳定性理论有所了解，能够用李雅普诺夫第二方法判断平
衡点的稳定性问题。
6.一阶偏微分方程部分：只要考生对一阶偏微分方程的理论和方法有所了解，
会求解简单的一阶线性齐次偏微分方程和一阶拟线性非齐次偏微分方程问题。
五、是否需使用计算器
否。