2018年中国海洋大学617数学分析考研大纲

中国海洋大学
2018 年硕士研究生招生考试大纲
011 数学科学学院
初试考试大纲
617 数学分析
一、考试性质
数学分析是数学相关专业硕士入学初试考试的专业基础课程。
二、考察目标
本考试大纲制定的依据是根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要
求，力求反映与数学相关的硕士专业学位的特点，客观、准确、真实地测评考生
对数学分析的掌握和运用情况，为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、
具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。
本考试旨在测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等
知识掌握的程度和运用能力。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理
论；掌握数学分析的基本论证方法和常用结论；具备较熟练的演算技能和较强的
逻辑推理能力及初步的应用能力。
三、考试形式
本考试为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
试卷结构：一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他（隐函
数理论、场论等）考核的比例均约为 1/3，分值均约为 50 分。
四、考试内容
(一) 变量与函数
1、实数：实数的概念、性质，区间，邻域；
2、函数：变量，函数的定义，函数的表示法，几何特征（有界函数、单调
函数、奇偶函数、周期函数），运算（四则运算、复合函数、反函数），基本初等
函数，初等函数。
(二) 极限与连续
1、数列极限：定义（-N 语言），性质（唯一性，有界性，保号性，不等式
性、迫敛性），数列极限的运算，数列极限存在的条件（单调有界准则（重要的
数列极限 en n
n


1
)1(lim ），迫敛性法则，柯西收敛准则）；
2、无穷小量与无穷大量：定义，性质，运算，阶的比较；
3、函数极限：概念（在一点的极限，单侧极限，在无限远处的极限，函数
值趋于无穷大的情形（-, -X 语言））；性质（唯一性，局部有界性，局部保
号性，不等式性，迫敛性）；函数极限存在的条件（迫敛性法则，归结原则（Heine
定理），柯西收敛准则）；运算；
4、两个常用不等式和两个重要函数极限（ 1
sin
lim
0

 x
x
x
， e
x
x
x


)
1
1(lim ）；
5、连续函数：概念（在一点连续，单侧连续，在区间连续），不连续点及其
分类；连续函数的性质与运算（局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（有
界性、最值性、零点存在性，介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函
数的连续性）；初等函数的连续性。
（三）实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
1、概念：子列，上、下确界，区间套，区间覆盖；
2、关于实数的基本定理：六个等价定理（确界存在定理、单调有界定理、
区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理）；
3、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明，最值性定理的证明，
零点存在定理的证明，反函数连续性定理的证明；一致连续性定理的证明。
（四）导数与微分
1、导数：来源背景，定义（在一点导数的定义、单侧导数、导函数），导数
的几何意义，简单函数的导数（常数、正弦函数、对数函数、幂函数），求导法
则（四则运算，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，
参数方程所表示函数的求导法则）；
2、微分：定义，运算法则，简单应用；
3、高阶导数与高阶微分：定义，运算法则。
（五）微分学基本定理及导数的应用
1、中值定理：费马（Fermat）定理，中值定理（罗尔（Rolle）中值定理、
拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；
2、泰勒公式及应用（近似计算，误差估计）；
3、导数的应用：函数的单调性、极值和最值，函数凸性与拐点，平面曲线
的曲率，七种待定型与洛必达（L’Hospital）法则；
（六）不定积分
1、不定积分:概念，基本公式，运算法则，计算（换元积分法、分部积分法、
有理函数积分法，其他类型积分）。
（七）定积分
1、定积分：来源背景，概念，函数可积的必要条件，达布上、下和，定积
分存在的充要条件，可积函数类（闭区间上的连续函数，分段连续函数，单调有
界函数)，定积分的性质，定积分的计算（基本公式、换元公式、分部积分公式）；
2、变上限定积分：定义，性质。
（八）定积分的应用
1、定积分在几何上的应用：平面图形的面积，曲线的弧长，截面已知的立
体体积，旋转体的体积，旋转曲面的面积；
2、定积分在物理上的应用：功、压力、引力；
3、微元法。
（九）数项级数
1、预备知识：上、下极限；
2、级数的敛散性：无穷级数收敛、发散等概念，柯西收敛原理，收敛级数
的基本性质；
3、正项级数：定义，敛散判别（基本定理，比较判别法，柯西判别法，达
朗贝尔判别法，柯西积分判别法）；
4、任意项级数：绝对收敛级数与条件收敛级数的概念和性质，交错级数与
莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。
（十）反常积分
1、反常积分：无穷限的反常积分的概念、性质，敛散判别法（柯西收敛原
理，比较判别法，狄利克雷判别法、阿贝尔判别法）；无界函数的反常积分的概
念、性质，敛散判别法。
（十一）函数项级数、幂级数
1、函数项级数的一致收敛性：函数项级数以及函数列的概念，函数项级数
以及函数列一致收敛的概念，一致收敛判别法（柯西收敛原理，优级数判别法，
狄利克雷判别法与阿贝尔判别法）；一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连
续性，可积性，可微性）；
2、幂级数：阿贝尔第一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致
收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）
级数与几种常见的初等函数的幂级数展开。
（十二）傅里叶级数
1、傅里叶级数：引进，三角函数系的正性, 傅里叶系数与傅里叶级数，以 2
为周期的函数的傅里叶级数展开，以 L2 （ 0L ）为周期的函数的傅里叶级数展
开，奇偶函数的傅里叶级数展开，傅里叶级数收敛定理的证明。
（十三）多元函数的极限与连续
1、平面点集：邻域，点列的极限，开集，闭集，区域，平面点集的几个基
本定理；
2、二元函数：概念，二重极限和二次极限，连续性（连续的概念、连续函
数的局部性质及有界闭区域上连续函数的整体性质）。
（十四）偏导数和全微分
1、偏导数和全微分：偏导数的概念，几何意义；全微分的概念；二元函数
的连续性、可微性，偏导存在的关系；复合函数微分法（链式法则）；由方程组
所确定的函数（隐函数）的求导法；
2、偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；方向
导数与梯度；泰勒公式。
（十五）极值和条件极值
1、极值：概念，判别（必要条件、充分条件），应用，最小二乘法；
2、条件极值：概念，拉格朗日乘数法，应用。
（十六）隐函数存在定理
1、隐函数：概念，存在定理；
2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式。
（十七）含参变量积分与含参变量广义积分
1、含参变量的正常积分：定义，性质（连续性、可微性、可积性）；
2、含参变量的反常积分：定义，一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法
（柯西收敛原理、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄立克雷判别法），一
致收敛积分的性质（连续性、可微性、可积性）；
3、欧拉积分： 函数和 函数的定义、性质。
（十八）重积分的计算及应用
1、二重积分：二重积分的概念，性质，计算（化二重积分为二次积分，换
元法（极坐标变换，一般变换）；
2、三重积分：计算（化三重积分为三次积分, 换元法（一般变换，柱面坐
标变换，球面坐标变换））；
3、重积分的应用：立体体积，曲面的面积，物体的质心，矩，引力，转动
惯量；
（十九）曲线积分与曲面积分
1、曲线积分：第一型曲线积分及第二型曲线积分的来源背景、概念、性质、
应用与计算，两类曲线积分的联系；
2、曲面积分：第一型曲面积分及第二型曲面积分的来源背景、概念、性质、
应用与计算，两类曲面积分的联系。
（二十）各种积分间的联系和场论初步
1、各种积分间的联系公式：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯
托克斯(Stokes)公式；
2、曲线积分与路径无关性：四个等价条件。
3、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度，保守场，哈密顿算子（算子 ）。
五、是否需使用计算器
否。