2018年长沙理工大学602数学考研大纲

科目代码：602 科目名称：数学
一、考试内容
1、函数和极限
函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、
分段函数和隐函数，基本初等函数性质及其图形。
数列极限与函数极限的定义以及它们的性质，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性
质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两
个重要极限：
e
xx
x
x
xx








1
1lim,1
sin
lim
0
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界
性、最大值和最小值定理、介值定理)
2、一元函数微分学
导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，
平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、
隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念和求法，一阶微分形式的不变
性，微分在近似计算中的应用，洛尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西
(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理，洛必达(L’Hospital)法则，函数的极值及其求法，
函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的
求法及简单应用，弧微分，曲率的概念，曲率半径。
3、一元函数积分学
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本
性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)
公式，不定积分和定积分的换元积、分法部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无
理函数的积分，广义积分的概念和计算定积分的近似计算法，定积分的应用。
4、矢量代数和空间解析几何
矢量的概念，矢量的线性运算，矢量的数量积和矢量积的概念及运算，矢量的混合积，
两矢量垂直、平行的条件，两矢量的夹角，矢量的坐标表达式及其运算，单位矢量 方向数
与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与
直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面，母线平
行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形，空
间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
5、多元函数微分学
多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上的
多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，
全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，高阶偏导数，方向导数和梯
度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线， 二元函数的二阶泰
勒公式，多元函数极值和条件极值的概念，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分
条件，极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
6、多元函数积分学
二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用，两类曲线积分
的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关
的条件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，
高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积
分的应用。
7、无穷级数
常数项级数及其收敛与发散的概念，收敛级数和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条
件，几何级数与 p 级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨
定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域，和函数的概念，幂级数及
其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级
数和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，e
x
、sinx、cos x、ln(1+x)和(1+x)
α
的麦克劳林(Maclaurin)展开式，幂级数在近似计算中的应用，函数的傅里叶(Fourier)系
数与傅里叶级数，狄利克雷(Dirichlet)定理，函数在[ l ，l ]上的傅里叶级数，函数在[0，
l ]上的正弦级数和余弦级数。
8、常微分方程
常微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐
次方程，一阶线性方程，伯努利(Bernoulli)方程，全微分方程，可用简单的变量代换求解
的某些微分方程，可降价高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系
数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次
线性微分方程，欧拉(Euler)方程，包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组，微分
方程的幂级数解法，微分方程(或方程组)的简单应用问题。
二、参考书目：
同济大学数学系编, 高等数学（第七版)（上、下）, 高等教育出版社, 2014