2018年长春理工大学实变函数与泛函分析加试大纲.doc考研大纲
长春理工大学数学研究生入学加试 《实变函数与泛函分析》考试大纲 一、总体要求 考生应按本大纲的要求,掌握 Lebesgue 的测度论,实变量的可测函数理论,Lebesgue 积分理论与微分理论,掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子,有界线性算子和连续线 性泛函的概念和例子,掌握 Hilbert 空间的基本性质。较好的掌握测度论与抽象积分理论, 并且在一定程度上掌握集合的分析方法。 二、教材 《实变函数与泛函分析基础(第二版)》,程其襄等,高等教育出版社,2003. 三、考试内容 (一) 集合 1. 掌握集合的概念,集合的包含和相等的关系和判定方法; 2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算,掌握上限集、下限集和收敛集的定义 3. 会求集合的和、交、差、余,会求集合族的上限集、下限集,会判定集合列是否收 敛; 4. 理解集合基数的概念,对等的概念,掌握 Bernstein 定理,会用 Bernstein 定理判 定集合对等; 5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质,能够利用已 知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合; 6. 知道不存在具有最大基数的集合。 (二)点集 1. 理解距离和距离空间的概念,懂得 Euclid 空间是距离空间; 2. 掌握邻域的概念与性质,掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念; 3.深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义,理解并掌握集合的开核、导集、 边界、闭包的概念及相关的性质; 4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质,掌握紧集的概念,完备集的概念,掌握有 限覆盖定理; 5. 理解直线上开集、闭集的构造定理,掌握 Cantor 集的性质。 (三)测度论 1.深入理解并熟练掌握外测度,L-可测集的定义和基本性质,并掌握典型的例子 2.理解 代数的定义,掌握 Borel 集、G 型集、F 型集的定义,明确可测集和 Borel 集、 G 型集、 F 型集之间的关系,掌握 L-可测集类; (四)可测函数 1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件,掌握简单函数的概念,几乎处处收敛的概 念,理解简单函数与可测函数的关系; 2. 理解 Egorov 定理,Lusin 定理; 3. 理解并掌握依测度收敛的定义,理解 Riesz 定理,Lebesgue 定理,会利用这两个定 理去解决实际问题。 (五)积分论 1. 理解并熟练掌握 Lebesgue 积分的定义和等价条件,明确 L-可积函数的种类; 2. 熟练掌握 L-积分的性质:特别是 Lebesgue 控制收敛定理,Levi 定理,逐项积分定 理,积分的可数可加性,Fatou 引理,能够熟练地利用这些性质解决实际问题; 3. 知道 L-积分与 R-积分的关系;理解 Lebesgue 积分的几何意义及 Fubini 定理。 (六)微分与不定积分 1. 掌握单调函数、有界变差函数的可微性和其微分的 L-可积性,掌握不定积分的概念, 绝对连续函数的概念,以及 L-可积函数的 Newton-Leibniz 公式; 2. 理解分步积分法; 3. 了解 Steiltjes 积分。 (七)度量空间和赋范线性空间 1. 理解并熟练掌握度量空间中的相关概念和性质,特别是可分空间,完备度量空间, 度量空间的完备化公理,压缩影射原理及应用; 理解并掌握赋范线性空间的定义,例子;掌握 Banach 空间的定义,例子和性质。 (八)有界线性算子和连续线性泛函 1. 理解并掌握有界线性算子,无界线性算子,连续线性泛函的定义和例子; 2.理解并掌握算子范数的定义,会求简单的算子范数; 3.理解并掌握有界线性算子空间及其共轭空间的定义,例子,及简单的性质,会求简单 的线性算子空间的共轭空间; 4.了解广义函数的定义和例子。 (九) Hilbert 空间 1. 掌握内积空间的定义,Hilbert 空间的定义和例子,明确内积空间中范数、距离及 正交的定义; 2. 理解并掌握 Hilbert 空间中的投影定理; 3. 掌握规范正交系,Fourier 系数的定义,理解并掌握完全规范正交系,Fourier 展开 式的概念,掌握完全规范正交系的等价条件,判定定理,以及 Hilbert 空间中完全规范正交 系的存在性; 4. 掌握 Riesz 表示定理,共轭算子的概念及性质; 5. 了解自伴算子,酉算子和正常算子的定义和简单性质。
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