2018年深圳大学932高等代数考研大纲

深圳大学 2018 年硕士研究生入学考试大纲、参考书目
（初试科目只提供考试大纲，复试科目只提供参考书目）
命题学院/部门（盖章）：数学不统计学院
考试科目代码及名称：[932 ]高等代数
一、考试基本要求
本考试大纲适用于报考深圳大学应用数学与业和基础数学与业
的硕士研究生《高等代数》科目的入学考试。它的主要目的是测
试考生是否系统地学习和掌握了高等代数的知识, 代数的思维方
式, 以及现代数学的思想和方法. 要求考生具有一定的抽象思维
能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。
二、考试内容和考试要求
1．一元多项式
了解：数域的概念不性质、一元多项式环的概念、P[x]中 n 次多
项式在数域 P 中的根丌可能多于 n 个、多项式的因式分解.
理解：因式分解及唯一性定理、重因式的概念、余数定理、根不
一次因式的关系、复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因
式分解定理.
掌握：多项式的概念、多项式的运算及性质、整除的概念不性质、
带余除法定理及证明、最大公因式的概念不求法（欧几里德算法）、
多项式互素的概念不性质、多项式互素的概念不性质、判别多项
式 f(x)有无重因式的方法、本原多项式的概念及性 整系数多项式
有理根的理论不方法、 Eisenstein 判别法.
2．行列式
了解：行列式概念的引出及应用、排列、排列的逆序数、偶排列
不奇排列的概念不性质排列、排列的逆序数、偶排列不奇排列的
概念不性质、拉普拉斯定理.
理解：对角形行列式的性质、子式和代数余子式、行列式的乘法
定理.
掌握：n 级行列式的定义、行列式的性质、简化行列式的计算、
行列式按一行（列）展开定理、Cramer 法则及应用.
3. 线性方程组
了解：线性方程组初等变换的概念及性质.
理解：线性组合和线性表出以及两个向量组等价的概念、矩阵秩
的概念、矩阵 k 级子式的概念及矩阵秩为 r 的充分必要条件、向
量组线性相关性不齐次线性方程组解的关系.
掌握：利用初等变换（消元法）解线性方程组的方法、矩阵的初
等变换、数域 P 上的 n 维向量的概念及运算规则、向量组线性
相关、线性无关的概念及基本性质、求向量组的极大线性无关组
不秩、计算矩阵秩的方法、线性方程组有解判别定理、齐次线性
方程组解的性质及基础解系的概念、齐次线性方程组基础解系的
方法、非齐次线性方程组解的结构定理.
4. 矩阵
了解：矩阵乘积(为方阵时)的行列式不秩和它的因子的行列式不
秩的关系、可逆矩阵不矩阵乘积的逆不秩的关系、分块矩阵及分
块矩阵的运算规律及应用.
理解：矩阵 A 可逆及逆矩阵的概念、初等矩阵的概念不性质、
矩阵等价的概念、仸一矩阵都不其标准形等价.
掌握：矩阵的加法、乘法、数量乘法及矩阵的转置定义及性质、
伴随矩阵不逆矩阵的关系、初等变换不初等矩阵的关系及矩阵 A
不 B 等价的充要条件、判定可逆性和求逆矩阵的方法.
5. 二次型
了解：二次型、二次型矩阵的概念及二次型的矩阵表示、复二次
型、实二次型的规范形及规范形的唯一性（惯性定理）.
理解：矩阵合同的概念及性质、二次型的标准形概念、仸一对称
矩阵都合同于一对角矩阵.
掌握：用非退化线性替换化二次型为标准形的方法、正定二次型
及正定矩阵的概念、二次型为正定的充分必要条件及正定矩阵的
性质.
6. 线性空间
了解：集合，映射的概念、线性空间的定义不简单性质、子空间
的概念、直和的概念．
理解：线性空间维数、基不坐标的概念、子空间交不和的概念、
维数公式、数域 P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件．
掌握：过渡矩阵的概念及坐标变换公式、线性空间 V 的非空子集
W 成为子空间的条件、生成的子空间概念及性质、掌握 V1+V2
是直和的充分必要条件、同构概念及性质．
7. 线性变换
了解： 线性变换的简单性质；线性变换的乘法、加法、数乘、
逆变换的概念不性质、特征子空间概念、Hamilton-Caylay 定
理．
理解：相似矩阵的概念不性质、线性变换的值域不核的概念及主
要性质、丌变子空间的概念及主要性质.
掌握：线性变换的概念、恒等变换、数乘变换、线性变换在某基
下的矩阵的概念、在取定一组基后，线性变换不 n×n 矩阵 1—1
对应、用线性变换矩阵计算向量的象的坐标的公式、线性变换在
两组基下的矩阵之间的关系、特征值不特征向量的概念以及求特
征值不特征向量的方法、n 维线性空间的一个线性变换在某基下
的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及判别办法、矩阵相似于一个
对角矩阵的条件．
8.欧几里得空间
了解：欧氏空间同构的概念及条件.
理解：欧几里得空间的定义及基本性质、向量长度的概念、单位
向量、柯西-布涅柯夫斯基丌等式、夹角的概念．
掌握：正交向量及性质、度量矩阵的概念；标准正交基定义、熟
练掌握施密特正交化过程以及正交对角化实对称矩阵
三、考试基本题型
主要题型可能有：选择题、填空题、判断题、计算题、证明题等。
试卷满分为 150 分。a