2018年沈阳工业大学泛函分析加试考研大纲加试大纲
硕士研究生入学考试大纲 考试科目名称: 泛函分析 一、援引教材 《泛函分析》第二版 高等教育出版社 江泽坚 孙善利编 二、考试要求 要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理,并且能灵活运用,具备较强 的分析问题与解决问题的能力。 三、考试内容 (一)距离线性空间 1. 距离线性空间的定义,常见的距离线性空间的距离定义及其性质。 2. 距离空间中的拓扑涵义,可分空间。 3. Cauchy 序列的性质,距离空间的完备性。 4. 列紧集,完全有界集的定义及它们之间的关系。 5. 赋范线性空间定义;范数与距离的关系;有限维赋范线性空间的结构。 6. 赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。 7. 常见空间 ],[,],,[ baLlbaC pp 以及 )(),(),( cms 等空间中距离与范数之间的定义及关系。 掌握这些空间的可分性,完备性及拓扑性质。 8. 压缩映射定义,掌握压缩映象原理,并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理 在理论上的典型应用。 (二)Hilbert 空间 1. 内积空间的定义,性质;内积与范数、距离之间的关系。 2. 赋范线性空间成为内积空间的条件,常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。 3. 掌握内积空间 ],[, 22 baLl 的定义及其性质。 4. Hilbert 空间的定义;Hilbert 空间上的正规正交基,正规正交分解; 5. 掌握并熟练运用 Bessel 不等式、Schwarz 不等式及 Parseval 公式。 6. 掌握可分 Hilbert 空间的结构。 7. 掌握射影定理,理解其涵义,并能加以应用;掌握 RieszcheteFr / 表现定理,Hilbert 空间上的线性泛函的表示。 8. Hilbert 共轭算子的定义、性质及其表示;可分 Hilbert 空间上有界线性算子的矩阵表达 式。 (三)Banach 空间及 Banach 空间上的有界线性算子 1. Banach 空间上的有界线性算子定义;算子范数的计算;范数的比较。 2. 有界线性算子空间 ),( YXL 的性质。 3. 算子的逆,逆算子存在、连续的条件;利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。 4. Hahn-Banach 定理;扩张定理的几种表现形式,如 Banach 扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk 定理等。 5. Hahn-Banach 定理的一些推论,体现的不同侧面的 Hahn-Banach 定理的具体表现形式; Hahn-Banach 定理的几何形式。Hahn-Banach 定理在理论及实际上的应用。 6. 分离定理,及其与 Hahn-Banach 定理之间的关系。 7. Baire 纲定理;第一纲集、第二纲集的定义与分类。 8. 一致有界原理(共鸣定理);开映射定理;Banach 逆算子定理;闭图形定理以及它们的应 用。 9. 对偶空间的定义,几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式,如 ],[),1](,[],,[),1(, 1 bacpbaLbaLpll pp 等。 10. 二次对偶、典型映射、自反空间的定义;有限维赋范线性空间、 )1](,[ pbaL p 、 Hilbert 空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。 11. Banach 共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。 12. 算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。 (四)有界线性算子谱论 1. 有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。 2. 掌握谱半径公式,应用公式解决问题。 3. 射影算子的定义;有界线性算子的不变子空间与约化子空间;F.Riesz 空间分解定理。 4. 紧算子的定义及其性质;紧算子的实例;紧算子与理想的关系。 5. Riesz-Schauder 理论:F.Riesz 定理;两择一定理;Fredholm 交替定理等定理内容与应 用。 6. 有界自伴算子的基本性质;紧自伴算子的定义与性质;酉算子的定义与性质。 7. 有界自伴算子的谱测度,谱分解定理与函数演算。
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