2018年南京农业大学数学分析考研大纲

南京农业大学 2018 年硕士研究生入学考试大纲
“数学分析 ”课程参考书如下：
参考书目
1. 华东师范大学数学系．《数学分析》（上册、下册）（第三
版），高等教育出版社． 2. W. Rudin. Principles of
Mathematical Analysis, McGraw Hill Inc., 1976.
考试大纲
数学分析考试大纲（2009 版）
一、考试内容与要求
(一) 极限论
（1）理解和掌握数列极限，函数极限的概念。熟练掌握并能运
用极限 ε -N，ε -X，ε -δ 语言。
（2）掌握收敛数列的性质及运算。掌握数列极限的存在条件(单
调有界准则，迫敛性法则，柯西准则)；掌握函数极限的性质和
归结原则；熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。
（3）理解无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系，掌握无穷
小量阶的比较和方法。
（4）理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及
其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念。
（5）掌握和应用闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有
界性、介值性、一致连续性）；掌握初等函数的连续性，理解
复合函数的连续性，反函数的连续性。
（6）掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯
西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。
（7）理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，
连续性概念；了解闭区间的套定理，有限覆盖定理，多元连续
函数的性质。
(二) 微分学
（1）理解和掌握导数与微分概念和几何意义；能熟练地运用导
数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。
（2）理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；
掌握导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。
（3）掌握中值定理的内容、证明及其应用；掌握泰勒公式及在
近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开。
（4）能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限；掌握函数的某
些基本特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)，
能较正确地作出某些函数的图象。
（5）掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数极值等概念；
理解全微分、偏导数、连续之间的关系；掌握多元函数泰勒公
式；会求多元函数的极值。
（6）掌握隐函数的概念及隐函数的存在定理；会求隐函数的导
数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和
法线方程；掌握条件极值概念及求法。
(三) 积分学
（1）掌握原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部
积分法、有理式积分法和三角有理式积分法，并能利用它们来
求函数的积分；会计算简单的无理函数的积分。
（2）理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数
类； 掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-
莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。
（3）掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；掌
握"微元法"。
（4）掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；.
能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。
（5）掌握含参变量定积分的概念与性质； 掌握含参变量广义
积分的收敛与一致收敛的概念；掌握含参变量广义积分一致收
敛的判别法；熟练应用欧拉公式。
（6）掌握两类曲线积分的概念及计算；掌握两类曲线积分的性
质；掌握两类曲线积分的关系；掌握格林公式的证明某些应用；
会计算曲线积分。
（7）掌握二重、三重积分的概念、性质；会计算重积分；会求
图形的面积，体积及物体的质量与重心。
（8）掌握两类曲面积分的概念及计算；掌握两类曲面积分的性
质； 掌握两类两类曲面积分的关系；会计算曲面积分。
（9）理解场论中的基本概念（梯度、散度、环量、旋度、保守
场和势函数），掌握保守场的判别条件。
（四）级数论
（1）理解无穷级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念；
正确叙述收敛级数的性质；应用正项级数与任意项级数的敛散
性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与 p 级数。
（2）掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限
函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些
函数项级数与函数列的一致收敛。
（3）掌握幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；
掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收
敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函
数的泰勒展开式。
（4）掌握三角函数系的正交性与函数的 Fourier 级数的概念；
能正确地叙述 Fourier 级数收敛性判别法；能将一些函数展开
成 Fourier 级数。