2018年江西理工大学602数学分析考研大纲
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2018年江西理工大学602数学分析考研大纲

《数学分析》考试大纲
一、总体要求
数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程,由分析基础、
一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求
考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握数学分析
的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运
算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试知识点及考核要求
(一) 实数集与函数
1、实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式;
2、数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确
界,确界原理;
3、函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图象
法),分段函数;
4、具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,
周期函数。
要求:了解数学的发展史与实数的概念,理解绝对值不等式的性质,
会解绝对值不等式;弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原
理,会利用定义证明一些简单数集的确界;掌握函数的定义及函数的
表示法,了解函数的运算;理解和掌握一些特殊类型的函数。
(二) 数列极限
1、极限概念;
2、收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,单调性;
3、数列极限存在的条件:单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则。
要求:逐步透彻理解和掌握数列极限的概念;掌握并能运用 -N 语言
处理极限问题;掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单
调有界函数和迫敛性定理),并能运用;了解数列极限柯西准则,了解
子列的概念及其与数列极限的关系;了解无穷小数列的概念及其与数
列极限的关系.
(三) 函数极限
1、函数极限的概念,单侧极限的概念;
2、函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,
迫敛性;
3、函数极限存在的条件:归结原则(Heine 定理),柯西准则;
4、两个重要极限;
5、无穷小量与无穷大量,阶的比较。
要求:理解和掌握函数极限的概念;掌握并能应用 -, -X 语言处理
极限问题;了解函数的单侧极限,函数极限的柯西准则;掌握函数极
限的性质和归结原则;熟练掌握两个重要极限处理极限问题。
(四) 函数连续
1、函数连续的概念:一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续
的定义,间断点及其分类;
2、连续函数的性质:局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(最
大最小值性、有界性、介值性、一致连续性),复合函数的连续性,
反函数的连续性;
3、初等函数的连续性。
要求:理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明,理
解与掌握函数间断点及其分类,连续函数的局部性质;理解单侧连续
的概念;能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;了解反函
数的连续性,理解复合函数的连续性,初等函数的连续性。
(五) 导数与微分
1、导数概念:导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义;
2、求导法则:导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则(反函
数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则,参数方程
的求导法则);
3、微分:微分的定义,微分的运算法则,微分的应用;
4、高阶导数与高阶微分。
要求:理解和掌握导数与微分概念,了解它的几何意义;能熟练地运
用导数的运算性质和求导法则求函数的导数;理解单侧导数、可导性
与连续性的关系,高阶导数的求法;了解导数的几何应用,微分在近
似计算中的应用。
(六) 微分学基本定理
1、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理*;
2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则;
3、泰勒公式。
要求:掌握中值定理的内容、证明及其应用;了解泰勒公式及在近似
计算中的应用,能够把某些函数按泰勒公式展开;能熟练地运用罗必
达法则求不定式的极限
(七) 导数的应用
1、函数的单调性与极值;
2、函数凹凸性与拐点.
要求:了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、
拐点)及其判断方法,能利用函数的特性解决相关的实际问题。
(八) 实数完备性定理及应用
1、实数完备性六个等价定理:闭区间套定理、单调有界定理、柯西
收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理;
2、闭区间上连续函数整体性质的证明:有界性定理的证明,最大小
值性定理的证明,介值性定理的证明,一致连续性定理的证明;
3、上、下极限*。
要求:了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明;
理解聚点的概念,上、下极限的概念。
(九) 不定积分
1、不定积分概念;
2、换元积分法与分部积分法;
3、几类可化为有理函数的积分;
要求:理解原函数和不定积分概念;熟练掌握换元积分法、分部积分
法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。
(十) 定积分
1、定积分的概念:概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条
件;
2、可积性条件:可积的必要条件和充要条件,达布上和与达布下和,
可积函数类(连续函数,只有有限个间断点的有界函数,单调函数);
3、微积分学基本定理:可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式;
4、非正常积分:无穷积分收敛与发散的概念,审敛法(柯西准则,
比较法,狄利克雷与阿贝尔判别法);瑕积分的收敛与发散的概念,
收敛判别法。
要求:理解定积分概念及函数可积的条件;熟悉一些可积分函数类,
会一些较简单的可积性证明;掌握定积分与可变上限积分的性质;能
较好地运用牛顿-莱布尼兹公式,换元积分法,分部积分法计算一些
定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;
能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。
(十一) 定积分的应用
1、定积分的几何应用:平面图形的面积,微元法,已知截面面积函
数的立体体积,旋转体的体积平面曲线的弧长与微分,曲率;
2、定积分在物理上的应用:功、液体压力、引力。
要求:重点掌握定积分的几何应用;掌握定积分在物理上的应用;理
解并掌握"微元法"。
(十二) 数项级数
1、级数的敛散性:无穷级数收敛,发散等概念,柯西准则,收敛级
数的基本性质;
2、正项级数:比较原理,达朗贝尔判别法,柯西判别法,积分判别
法;
3、一般项级数:交错级数与莱布尼兹判别法,绝对收敛级数与条件
收敛级数及其性质,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
要求:理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;掌
握收敛级数的性质;能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法
判断级数的敛散性;熟悉几何级数调和级数与 p 级数。
(十三) 函数项级数
1、一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则,优级数判别法,狄利
克雷与阿贝尔判别法);
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性,可积性,可微
性)。
要求:掌握收敛域、极限函数与和函数一致收敛等概念;掌握极限函
数与和函数的分析性质(会证明);能够比较熟练地判断一些函数项级
数与函数列的一致收敛。
(十四) 幂级数
1、幂级数:阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛
性,幂级数和函数的分析性质;
2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。
要求:了解幂级数,函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念;掌
握幂级数的性质;会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域;会
把一些函数展开成幂级数,包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式
(十五) 付里叶级数
1、付里叶级数:三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数,
以2 为周期函数的付里叶级数, 收敛定理;
2、以 2L 为周期的付里叶级数;
3、收敛定理的证明。
要求:理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念;掌握傅
里叶级数收敛性判别法;能将一些函数展开成傅里叶级数;了解收敛
定理的证明。
(十六) 多元函数极限与连续
1、平面点集与多元函数的概念;
2、二元函数的极限、累次极限;
3、二元函数的连续性:二元函数的连续性概念、连续函数的局部性
质及初等函数连续性。
要求:理解平面点集、多元函数的基本概念;理解二元函数的极限、
累次极限、连续性概念,会计算一些简单的二元函数极限;了解闭区
域套定理,有限覆盖定理,多元连续函数的性质。
(十七) 多元函数的微分学
1、可微性:偏导数的概念 ,偏导数的几何意义,偏导数与连续性;
全微分概念;连续性与可微性,偏导数与可微性;
2、多元复合函数微分法及求导公式;
3、方向导数与梯度;
4、泰勒定理与极值。
要求:理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等
概念及其计算;弄清全微分、偏导数、连续之间的关系;了解泰勒公
式;会求函数的极值、最值。
(十八) 隐函数定理及其应用
1、隐函数:隐函数的概念,隐函数的定理,隐函数求导举例;
2、隐函数组:隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行
列式;
3、几何应用:平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,
曲面的切平面和法线;条件极值:条件极值的概念,条件极值的必要
条件。
要求:了解隐函数的概念及隐函数的存在定理,会求隐函数的导数;
了解隐函数组的概念及隐函数组定理,会求隐函数组的偏导数;会求
曲线的切线方程,法平面方程,曲面的切平面方程和法线方程;了解
条件极值概念及求法。
(十九) 重积分
1、二重积分概念:二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积
分的性质;
2、二重积分的计算:化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变换,
一般变换);
3、含参变量的积分;
4、三重积分计算:化三重积分为累次积分, 换元法(一般变换,柱
面坐标变换,球坐标变换);
5、重积分应用:立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量;
6、含参量非正常积分概念及其一致敛性:含参变量非正常积分及其
一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则,与函数项级数一致
收敛性的关系,一致收敛的 M 判别法),含参变量非正常积分的分析
性质;
7、欧拉积分*:格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。
要求:了解含参变量定积分的概念与性质;熟练掌握二重、三重积分
的概念、性质、计算及基本应用;了解含参变量非正常积分的收敛与
一致收敛的概念;理解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理,并
掌握它们的应用;了解欧拉积分。
(二十) 曲线积分与曲面积分
1、第一型曲线积分的概念、性质与计算,第一型曲面积分的的概念、
性质与计算;
2、第二型曲线积分的概念、性质与计算,变力作功,两类曲线积分
的联系;
3、格林公式,曲线积分与路线的无关性, 全微分;
4、第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分的关系;
5、高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关性;
6、场论初步*:*场的概念,梯度,*散度和旋度。
要求:掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算;了解两类
曲线积分的关系和两类曲面积分的关系;熟练掌握格林公式的证明及
其应用,会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积
分;了解场论的初步知识。
三、考试题型及比例
计算题: 60%左右;证明题: 40%左右
四、考试形式及时间
考试形式为闭卷笔试,试卷总分值为 150 分,考试时间为三小时。

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