2018年辽宁科技大学线性代数与常微分方程考研大纲

辽宁科技大学 2018 年全国硕士研究生入学考试
《线性代数与常微分方程》考试大纲
科目代码：801
I.考试性质
线性代数与常微分方程考试是为辽宁科技大学理学院运筹学与控制论专业招收硕士研究生而设置
的具有选拔性质的全国统一入学考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试学生掌握大学本科阶段
线性代数与常微分方程课程的基本知识、基本理论，以及运用其基础理论和方法分析问题和解决问题
的能力，评价的标准是高等学校本科相关专业毕业生能达到的及格或及格以上水平，以保证被录取者
具有数学学科的基本素质，并有利于其他高等院校和科研院所相关专业的择优选拔。
II.考查目标
线性代数与常微分方程考试内容涵盖行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量
组的线性相关性、相似矩阵及二次型；常微分方程的初等积分法、基本概念与定理、线性微分方程、
线性微分方程组、定性理论等。要求考生：
1）掌握行列式、矩阵、向量的相关概念与运算。
2）掌握用初等变换求矩阵的秩、求向量组的最大无关组与秩、求解线性方程组。
3）掌握特征值与特征向量的概念与计算。
4）掌握用正交变换化实对称阵为对角阵及二次型化标准型的方法。
5）掌握一阶常微分方程的各种解法。
6）掌握线性微分方程组的解的性质、解的结构及解的求法。
7）掌握 n 阶常系数线性非齐次方程的常数变异法、待定系数法。
Ⅲ.考试形式和试卷结构
1、试卷满分及考试时间 本试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟
2、答题方式
答题方式为闭卷，笔试。
3、试卷内容结构
行列式约 15 分；矩阵及其运算约 20 分；向量组的线性相关性约 20 分；线性方程组
约 20 分；相似矩阵及二次型约 15 分；一阶微分方程约 30 分；线性微分方程约 10 分； 线性微分
方程组约 10 分；基本概念与定理约 10 分。
Ⅳ.试卷题型结构
题型包括计算题、证明题等。
Ⅴ.考查内容
（1）行列式：了解 n 阶行列式的定义；掌握用行列式的性质计算行列式；掌握行列式按行按列展
开的法则；了解克拉默法则。
（2）矩阵及其运算：理解矩阵的概念、掌握矩阵的运算；理解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质。（3）
矩阵的初等变换与线性方程组：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、规范阶梯形
和标准型；理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩；了解初等方阵的概念，掌握用
初等变换求逆矩阵的方法；掌握用初等变换求解线性方程组。
（4）向量组的线性相关性：理解 n 维向量空间的概念、掌握向量的运算；理解向量组的线性相关
性、最大无关组、秩的概念，能判定向量组的线性相关性；掌握用初等变换求向量组的最大无关组与
向量组的秩；了解线性方程组的解的结构。
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（5）相似矩阵及二次型：理解向量内积的概念，掌握 Schmidt 正交化方法，理解方阵的特征值与
特征向量的概念，掌握特征值与特征向量的求法；理解相似矩阵的概念和性质；掌握用正交变换化实
对称阵为对角阵及二次型化标准型的方法。
（6）初等积分法：理解常微分方程与解的概念；熟练掌握变量分离方程解法、齐次方程解法、一阶
线性方程的常数变易法、贝努利方程解法；掌握全微分方程解法、一阶隐式微分方程的参数解法、高
阶方程降阶法；了解一阶微分方程的应用实例。
（7）基本概念与定理：理解解的存在与唯一性定理和解延拓的概念及定理及其证明方法；理解比较
定理和解对初值的连续依赖性定义和定理的内容。
（8）线性微分方程组：掌握一阶微分方程组有关定义；理解解的存在唯一性定理；掌握线性微分方
程组的一般概念；掌握线性齐次微分方程组解的性质、解空间的结构；掌握线性非齐次微分方程组通
解结构，常数变易法以及通解的计算。
（9）线性微分方程：理解 n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，刘维尔公式；了
解n 阶常系数线性齐次方程的待定指数函数解法，单特征根和重特征根情形； 掌握 n 阶常系数线性
非齐方程的常数变易法，待定系数法；了解二阶常系数线性方程在振动方程中的应用。
（10）定性理论：了解相空间和相轨线；理解稳定性、渐近稳定性定义和定理；了解奇点，极限环，
环域定理及其应用。
参考书目：
1.《线性代数》，辽宁科技大学数学部，高等教育出版社。
2.《高等代数》，王萼芳，石生明高等教育出版社，第 4 版。
3.《高等代数》，张禾瑞、耗炳心新，高等教育出版社，第 5 版。
4.《高等代数辅导与习题解答》，王萼芳、石生明，高等教育技术出版社。
5.《常微分方程》，王高雄、周之铭，高等教育出版社，第 3 版。
6.《常微分方程教程》，丁同仁、李永治，高等教育出版社，第 2 版。
7.《常微分方程学习指导书》，王克、潘家齐，高等教育出版社，第 3 版。
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