2018年辽宁师范大学数学分析（专业学位）考研大纲

2018 年辽宁师范大学数学学院研究生
考试大纲
《数学分析》考试大纲（专业学位）
注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。
第一章实数集与函数
一．考核知识点
1.实数集的性质
2．确界定义和确界原理
3．函数的概念及表示法，基本初等函数的性质及其图形，初等函数
二．考核要求
(一) 实数集的性质
1．熟练掌握：（1）实数及其性质；（2）绝对值与不等式。
2．深刻理解：（1）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德
性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（2）
绝对值的定义及性质。
3．简单应用：（1）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（2）
会利用绝对值的性质证明简单的不等式。
4．综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解
简单的不等式。
（二）确界定义和确界原理
1．熟练掌握：（1）区间与邻域；（2）有界集、无界集与确界原理。
2．深刻理解：（1）区间与邻域的定义及表示法；（2）确界的定义及确界
原理。
3．简单应用：会用区间表示不等式的解，会证明数集的的有界性，会求数
集的上、下确界。
4．综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），
会证明某数集无界。
（三）函数的概念
1．熟练掌握：（1）函数的定义；（2）函数的表示法；（3）函数的四则
运算；（4）复合函数；（5）反函数；（6）初等函数。
2．深刻理解：（1）函数概念的两个要素；（2）绝对值函数,取整函数，
符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（3）函数能够进行四则运算的条件；（4）复
合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（5）反函数存在的条件。
3．简单应用：会求函数的定义域、值域，会比较几个函数的大小，会求分
段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图象。
4．综合应用：会作简单的复合函数的图象，会求函数的反函数，并证明有
关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系。
（四）具有某些特性的函数
1．熟练掌握：（1）有界函数；（2）单调函数；（3）奇函数和偶函数；
（4）周期函数。
2．深刻理解：（1）有界函数和无界函数的定义；（2）单调函数的定义及
其图象的性质；（3）奇函数和偶函数的定义及其图象的性质；（4）周期函数的
定义及其图象的性质。。
3．简单应用：（1）会求函数的上下界，判断无界函数；（2）会判断函数
的单调性；（3）会判断周期函数；（4）会判断函数的奇偶性。
4．综合应用：能利用函数的各种特性解决简单的应用问题。
第二章数列极限
一．考核知识点
1．数列极限的定义
2．收敛数列的性质
3．数列极限存在的条件
二．考核要求
(一) 数列极限的定义
1．熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的“ N ”定义，数列极限
的几何意义。
2．深刻理解：数列极限的“ N ” 定义的逻辑结构，深刻理解 的任意
性， N 的相应性；用“ N ” 定义证明数列的极限的表述方法； “ N ”
定义的否定说法。
3．简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性。
4．综合应用：会用“ N ” 语言证明数列的极限存在。
(二) 收敛数列的性质
1．熟练掌握：收敛数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫
敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念。
2．深刻理解：收敛数列诸性质的证明。
3．简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限。
4．综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列
极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列。
(三) 数列极限存在的条件
1．熟练掌握：（1）单调有界原理；（2）柯西收敛准则。
2．深刻理解：单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题。
3．简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性。
4．综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用
柯西收敛准则的否定命题证明数列发散。
第三章函数极限
一．考核知识点
1．函数极限的定义
2．函数极限的性质
3．函数极限存在的条件
4．两个重要的极限
5．无穷大量与无穷小量
二．考核要求
(一) 函数极限的定义
1．熟练掌握：（1） x 时函数极限的定义；（2） 0
xx  时函数极限的
定义。
2．深刻理解：
（1） Axf
x


)(lim 的 “ M ” 定义的逻辑结构，深刻理解 的任意性，
M 的相应性；用“ M ” 定义证明函数极限的表述方法； “ M ” 定义
的否定说法。（2） Axf
xx


)(lim
0
的 “ε -δ ” 定义的逻辑结构，深刻理解 的
任意性， δ 的相应性；用“ε -δ ” 定义证明函数极限的表述方法； 单侧极限
和极限 Axf
xx


)(lim
0
存在的充要条件；“ε -δ ” 定义的否定说法。
3．简单应用：会用 Axf
x


)(lim 的“ M ”定义 和 Axf
xx


)(lim
0
的“ε -δ ”
定义证明简单函数的极限。
4．综合应用：会用函数极限定义等分析语言证明一般的函数极限问题；用
极限存在的充要条件证明极限不存在。
（二）函数极限的性质
1．熟练掌握：函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性、保不等式性，
函数极限的迫敛性，函数极限的四则运算法则。
2．深刻理解：函数极限诸性质的证明。
3．简单应用：能运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限。
4．综合应用：能运用函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性，函数
极限的迫敛性等证明函数的各种性质。
(三) 函数极限存在的条件
1．熟练掌握：（1）归结原则；（2）柯西收敛准则。
2．深刻理解：归结原则和柯西收敛的实质。
3．简单应用：会用归结原则证明函数的极限不存在，用柯西收敛准则证明
函数极限存在。
4．综合应用：能用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在。
(四) 两个重要的极限
1．熟练掌握： e
xx
x
x
xx








1
1lim,1
sin
lim
0
。
2．深刻理解：两个重要极限的证明。
3．简单应用：会利用两个重要极限求函数的极限。
4．综合应用：能综合用利用归结原则和两个重要极限求解极限问题。
(五) 无穷小量与无穷大量
1．熟练掌握：无穷小量，无穷大量。
2．深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量阶的比较。
3．简单应用：会用无穷小量和无穷大量求极限。
4．综合应用：会用等价无穷小求极限，求曲线的渐近线。
第四章函数的连续性
一．考核知识点
1．连续性概念
2．连续函数的性质
3．初等函数的连续性
二．考核要求
(一) 连续性概念
1．熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类。
2．深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条
件。
3．简单应用：会用定义证明函数在一点连续。
4．综合应用：能利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续。
(二) 连续函数的性质
1．熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函
数的连续性，复合函数的连续性。
2．深刻理解：一致连续性。
3．简单应用：能用连续性求极限。
4．综合应用：会证明函数的一致连续性，能利用闭区间上连续函数的基本
性质论证某些问题。
(三) 初等函数的连续性
1．熟练掌握：基本初等函数的连续性。
2．深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续。
3．简单应用：会证明基本初等函数在定义域内连续，能判断初等函数间断
点的类型。
4．综合应用：会证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点
的类型。
第五章导数与微分
一．考核知识点
1．导数的概念
2．求导法则
3．参变量函数的导数
4．高阶导数
5．微分
二．考核要求
(一) 导数的概念
1．熟练掌握：导数的定义，导函数的概念。
2．深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函
数的介值性，函数可导与连续的关系。
3．简单应用：会求函数的平均变化率，会求曲线的切线与法线。
4．综合应用：会求分段函数的导数，能运用导数概念证明曲线的某些几何
性质。
（二）求导法则
1．熟练掌握并深刻理解：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导
数，基本求导法则与公式。
2．简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数。
3．综合应用：能综合运用各种求导法则计算函数的导数。
(三)参变量函数的导数
1．熟练掌握：参变量函数的导数的定义。
2．深刻理解：参变量函数的导数的几何意义。
3．简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数。
4．综合应用：能利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质。
(四)高阶导数
1．熟练掌握：高阶导数的定义。
2．深刻理解：高阶导函数的概念。
3．简单应用：会计算函数的高阶导数。
4．综合应用：能利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶
导数。
(五)微分
1．熟练掌握：微分概念。
2．深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变
性。
3．简单应用：会求函数的微分。
第六章 微分中值定理及其应用
一．考核知识点
1．拉格朗日定理和函数单调性
2．柯西中值定理和不定式极限
3．泰勒公式
4．函数的极值与最值
5．函数的凸性与拐点，函数图象的讨论
二．考核要求
(一) 拉格朗日定理和函数单调性
1．熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性。
2．深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，
它们的几何意义。
3．简单应用：会判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会
求简单函数的中值点。
4．综合应用：会用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中
值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式。
(二)柯西中值定理和不定式极限
1．熟练掌握：柯西中值定理, 不定式极限的计算方法。
2．深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法。
3．简单应用：会求不定式的极限。
4．综合应用：能用柯西中值定理证明某些带中值的等式。
(三)泰勒公式
1．熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式。
2．深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系。
3．简单应用：会利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计。
4．综合应用：能利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限。
(四)函数的极值与最大〔小〕值
1．熟练掌握：函数的极值与最大〔小〕值，取极值的必要条件，驻点。
2．深刻理解：判断极值的两个充分条件。
3．简单应用：会求函数极值与最大〔小〕值。
4．综合应用：会证明某些不等式，解决求最大〔小〕值的应用问题。
(五)函数的凸性与拐点，函数图象的讨论
1．熟练掌握：函数图象的凸性与拐点，函数图象的性态。
2．深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线。
3．简单应用：会判断函数图象的凸性与拐点，会求曲线的渐近线，能描绘
简单函数的图象。
4．综合应用：能利用函数的凸性证明不等式。
第七章实数的完备性
一．考核知识点
1. 关于实数集完备性的基本定理
2．闭区间上连续函数性质的证明
二．考核要求
(一)关于实数集完备性的基本定理
1．熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理。
2．深刻理解：确界原理、柯西收敛准则、区间套定理、聚点定理、致密性
定理、有限覆盖定理的条件和结论，及其证明方法，理解有理数集不满足完备性
定理的原因
3．应用：会求数集的聚点、确界。会用区间套定理解决简单的存在性问题。
(二)闭区间上连续函数性质的证明
1．熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值存在性，介值
性和一致连续性。
2．深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法。
第八章不定积分
一．考核知识点
1．不定积分概念与基本积分公式
2．换元积分法与分部积分法
3．有理函数和可化为有理函数的不定积分
二．考核要求
(一)不定积分概念与基本积分公式
1．熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表。
2．深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几
何意义。
3．简单应用：会求简单初等函数的不定积分。
4．综合应用：能根据不定积分的几何意义求曲线方程。
(二)换元积分法与分部积分法
1．熟练掌握：换元积分法，分部积分法。
2．深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积
求导法的关系。
3．简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分。
4．综合应用：能综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积
分，证明某些递推公式。
(三)有理函数和可化为有理函数的不定积分
1．熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分。
2．深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤。
3．应用：会算简单的有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积
分。
第九章定积分
一．考核知识点
1．定积分概念和性质
2．可积条件
3．微积分学基本定理·定积分的计算
二．考核要求
(一)定积分概念和性质
1．熟练掌握：定积分的实际背景，黎曼积分和，定积分的性质。
2．深刻理解：构造积分和的方法，定积分及其性质的几何意义。
3．简单应用：会用定积分定义计算简单函数的定积分，利用定积分的性质
比较积分的大小，估计积分值。
4．综合应用：能用定积分定义计算某些复杂和式的极限，利用定积分的性
质证明不等式，论证函数的某些性质。
(二) 可积条件
1．一般掌握和理解：可积的必要条件和充分条件，可积函数类。
2．简单应用：会判断函数的可积性。
(三)微积分学基本定理和定积分的计算
1．熟练掌握：变上限定积分所确定的函数及其性质，微积分学基本定理。
2．深刻理解：微积分学基本定理的实质，原函数的存在性。
3．应用：用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分，用换元积分法与分部积分
法计算定积分。
第十章定积分的应用
一．考核知识点：平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧
长与曲率,旋转曲面的面积
二．考核要求
1．熟练掌握： 用定积分表达和计算一些几何量。
2．深刻理解：定积分的应用的实质—微元法。
3．应用：会计算平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长,
旋转曲面的面积。
第十一章数项级数
一．考核知识点
1．级数的收敛性
2．正项级数和一般项级数
二．考核要求
(一)级数的收敛性
1．熟练掌握：数项级数的定义。
2．深刻理解：级数收敛、发散的概念,收敛级数的性质，级数收敛的柯西
准则。
3．简单应用：会判断级数的收敛和发散。
4．综合应用：能应用柯西准则讨论级数的敛散性。
(二) 正项级数
1．熟练掌握：正项级数收敛的必要条件，正项级数的比较原则。
2．深刻理解：正项级数收敛比式判别法，根式判别法和积分判别法。
3．简单应用：会判别正项级数的收敛性。
4．综合应用：能运用正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法等
论证一些问题。
（三）一般项级数
1．熟练掌握：交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布
尼茨判别法。
2．深刻理解：绝对收敛级数的性质，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法。
3．简单应用：会判别一般项级数的收敛性。
4．综合应用：能进行绝对收敛级数的乘积运算。
第十二章函数列与函数项级数
一．考核知识点
1．一致收敛性
2．一致收敛函数列与函数项级数的性质
二．考核要求
(一)一致收敛性
1．熟练掌握：函数列与函数项级数的一致收敛性的定义，一致收敛的充要
条件。
2．深刻理解：一致收敛定义的否定叙述，一致收敛的柯西准则，函数列与
函数项级数一致收敛性的判别法
3．应用：会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性，用优
级数判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性。
(二)一致收敛函数列与函数项级数的性质
1．熟练掌握：一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数。
2．深刻理解：连续性，可积性，可微性定理。
3．简单应用：会由定理讨论函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微
性。
4．综合应用：会由定理证明和函数的分析性质，计算函数项级数的积分与
导数。
第十三章幂级数
一．考核知识点
1．幂级数
2． 函数的幂级数展开式
二．考核要求
(一)幂级数
1．熟练掌握： 幂级数的定义。
2．深刻理解：幂级数的性质。
3．应用：幂级数的计算，求幂级数的收敛半径。
(二)函数的幂级数展开式
1．熟练掌握：泰勒级数定义。
2．深刻理解：泰勒级数和马克劳林级数。
3．应用：能利用六个常用展开式。把一些简单的函数展成马克劳林级数。
第十四章多元函数的极限与连续
一．考核知识点
1．平面点集与多元函数
2．二元函数的极限和连续性
二．考核要求
(一)平面点集与多元函数
1．熟练掌握：二元函数和二元函数极限的定义。弄清二重极限与累次极限
的区别极其联系。
2．深刻理解：平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、
闭区域、有界区域、无界区域等。完备性定理。
3．简单应用：会求函数的定义域，画定义域的图形，并说明是何种点集。
4．综合应用：会求平面点集的聚点与界点。
(二)二元函数的极限和连续性
1．熟练掌握：二元函数的极限和连续性的概念。
2．深刻理解：累次极限和二重极限的关系。
3．简单应用：会求累次极限和二重极限。
4．综合应用：会讨论函数的连续性。
第十五章多元函数微分学
一．考核知识点
1．可微性
2．复合函数微分法
3．方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题
二．考核要求
(一)可微性
1．熟练掌握：偏导数与全微分定义。可微的几何意义。
2．深刻理解：可微性条件。
3．应用：会求函数的偏导数与全微分。
(二) 复合函数微分法
1．熟练掌握：复合函数微分法的有关概念。
2．深刻理解：复合函数的全微分链式法则。
3．应用：会求复合函数的偏导数或全微分。
第十五章重积分
一．考核知识点
1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算
2．格林公式•曲线积分与路线的无关性
3．二重积分的变量变换与三重积分
4．重积分的应用
二．考核要求
(一) 二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算
1．熟练掌握：二重积分的概念
2．深刻理解：二重积分的性质。
3．应用：会计算二重积分。
(二) 二重积分的变量变换与三重积分
1．熟练掌握： 三重积分的概念。
2．深刻理解：二重积分的可积函数类与性质，二重积分的变量变换公式与
化三重积分为累次积分。
3．简单应用：会用极坐标计算二重积分，会三重积分换元法。
4．综合应用：能对积分进行极坐标变换并计算二重积分。计算三重积分及
累次积分。