2018年湖南师范大学723数学分析考研大纲

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：723 考试科目名称：数学分析
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
数学分析
4)题型结构
a: 填空题，10 小题，每小题 7 分，共 70 分
b: 讨论题，3 小题，每小题 10 分，共 30 分
c: 解答题(包括证明题)，5 小题，每小题 10 分，共 50 分
二、考试内容与考试要求
1、极限论
考试内容
① 各种极限的计算； ② 单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、
Cauchy 收敛原理等实数基本理论的灵活应用； ③ 连续函数特别是闭区间上连
续函数性质的运用； ④ 极限定义的熟练掌握等.
考试要求
（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.
（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、
确界原理、Cauchy 收敛原理进行各种理论证明．
（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能
利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连
续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．
（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明.
2、单变量微分学
考试内容
① 微分中值定理（包括 Roll 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理等）
的灵活运用（包括单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题、等式和不等式的证
明等）； ② Talor 公式的灵活运用（包括用 Lagrange 余项形式证不等式、用
Peano 余项形式估计阶以及求极限等）；③ 各种形式导数的计算； ④ 导数的
定义和运用等.
考试要求
（1）熟练掌握微分中值定理，包括 Roll 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy
中值定理的条件和结论，能熟练利用这些定理进行理论证明或计算，包括函数单
调性讨论、极值的求取、凸凹性问题的讨论、等式和不等式的证明等．
（2） 熟练掌握 Talor 公式的条件和结论，并能做到灵活运用，尤其是利用
Lagrange 余项形式证不等式、Peano 余项形式估计阶以及求极限等.
（3）熟练掌握复合函数导数的计算和高阶导数的计算．
（4）熟练掌握导数的定义和性质，能用逻辑语言进行理论证明，熟练掌握
利用导数定义进行证明或计算.
3、单变量积分学
考试内容
① 各种不定积分和定积分的熟练计算，尤其是计算中的处理技巧； ② 广义
积分的计算和敛散性判别； ③ 定积分的定义和性质的灵活运用等.
考试要求
（1）熟练计算各种不定积分、定积分，熟练掌握凑微分法、换元法、分部
积分法以及常用的计算技巧，熟练掌握奇偶函数、周期函数的积分特点．
（2）熟练掌握广义积分的计算，熟练掌握区间无限型、函数无界型以及混
合型广义积分的敛散性判别，并能进行理论证明．
（3）熟练掌握定积分的定义，能利用定积分的定义进行极限的计算，熟练
掌握定积分的性质，并能利用这些性质进行理论证明，掌握常用可积函数类．
4、级数论
考试内容
① 各种数项级数尤其是正项级数的敛散性判别；② 数项级数的性质
③ 函数列和函数项级数的一致收敛性判别，给定函数 Fourier 级数的展开和特殊
点的收敛性；④函数列和函数项级数一致收敛性质的灵活运用 ；⑤幂级数的收
敛性和展开等知识的熟练掌握.
考试要求
（1）熟练掌握级数的敛散性判别，尤其是正项级数和交错级数敛散性判别.
（2）掌握数项级数的一些常用性质，尤其是绝对收敛级数与条件收敛结束
的常规性质.
（3）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的判别，尤其是用定义、优
级数判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法判别函数项级数的一致收敛性，熟练
掌握给定函数的 Fourier 展开，能给出 Fourier 级数在特殊点的收敛性.
（4）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的性质运用，包括连续性、
可积性和可微性，能利用这些性质进行理论证明.
（5）熟练掌握幂级数收敛区间的求法，熟练掌握常规函数的幂级数展开，
并掌握一些特殊幂级数和函数的求法.
5、多变量微分学和参变量积分
考试内容
① 可微的定义； ② 求复合函数以及隐函数的偏导数； ③ 多元函数极值
理论； ④ 参变量积分的一致收敛性判别； ⑤ 参变量积分的计算； ⑥ 参变
量积分一致收敛性质的运用等.
考试要求
（1）掌握多元函数可微的定义，能熟练利用定义证明某些常规函数的可微
性，掌握多元函数可微、连续、可求偏导之间的关系.
（2）熟练掌握多元函数复合函数求偏导数尤其是高阶偏导数，掌握方程或
方程组确定的隐函数偏导的计算.
（3）熟练掌握多元函数极值的计算，并能计算有界闭域上连续函数的最值..
（4）熟练掌握含参变量广义积分一致收敛性的判别.
（5）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的计算.
（6）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的连续性、可积性和可导性，
并能利用这些性质进行计算和证明..
6、多元积分学
考试内容
①二重积分、三重积分的计算； ② 格林公式、高斯公式的灵活运用；
③两类曲线积分、两类曲面积分的计算；④ 各种积分之间的相互关系等
考试要求
（1）熟练掌握二重积分、三重积分的计算，熟练掌握降维、换元法，尤其
是极坐标、球坐标变换.
（2）熟练掌握 Gree 公式、Gauss 公式的条件和结论.
（3）熟练掌握第一类和第二类曲线积分和曲面积分的计算.
（4）掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，
熟练掌握利用 Gree 公式求第二类曲线积分、利用 Gauss 公式求第二类曲面积分、
利用 Stokes 公式求空间第二类曲线积分..
三、参考书目
[1] 复旦大学数学系编. 数学分析. 高等教育出版社, 1979
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 高等教育出版社, 2001
[3] 张学军、王仙桃等编. 数学分析选讲. 湖南师范大学出版社，2012