2018年黑龙江大学738农学数学考研大纲

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黑龙江大学农学学科
硕士研究生入学考试【农学数学】（高等数学 II）自命题大纲
第一部分 课程基本信息
【课程性质】 学科与专业必修课程
【课程基础】 掌握高中代数，平面解析几何，立体几何等基本知识。
【适应对象】 化学化工与材料学院 化学、化学实验班、应用化学、材料化学、环境科学、
高分子材料与工程、制药工程（化学制药）专业的本科生，生命科学学院 生
物工程、生物技术、制药工程（生物制药）、食品科学与工程专业的本科生，
建筑工程学院 土木工程（给水排水工程）专业的本科生，农业资源与环境
学院 农业资源与环境、种子科学与工程、水土保持与荒漠化防治专业的本
科生，信息管理学院 信息管理与信息系统、电子商务等专业的本科生，信
息科学技术学院计算机科学与技术学院(网络工程)专业的本科生，国际文化
教育学院 理科专业的本科生。
【教学目的】 本课程是高等学校理工科（本科）相关专业的一门必修的基础课，它为学习
后续课程提供必要的数学知识。同时还能培养学生的抽象思维能力、逻辑推
理能力、空间想象能力及综合运算能力，进一步提高学生分析问题和解决问
题的能力，对今后的学习、研究和应用都具有关键的作用。
【内容提要】 一元函数微积分及其应用；空间解析几何；多元函数微积分及其应用；级数
的一般理论；常微分方程。本课程分两学期讲授，其中第一学期讲授第一至
六章（75 学时），第二学期讲授第七至十一章（90 学时），总学时为 165
学时（具体分配情况可参考第二部分），其中带*号的内容为选讲内容。
第二部分 主要教学内容和基本要求
【主要教学内容】
第一章 函数
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念及其运算
二、区间和邻域
三、映射的概念及应用举例
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第二节 函数及其基本性质
一、函数的概念
二、复合函数与反函数的概念
三、函数的几种特性
四、初等函数
【基本要求】
一、熟练掌握集合的基本理论和函数、函数的定义域、值域、初等函数的概念，并能
建立简单应用问题中的函数关系式；熟练掌握基本初等函数的性质及图像。
二、掌握函数的性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）。
三、了解映射、单射、满射、一一映射、复合映射与逆映射；了解复合函数及分段函
数的概念，了解反函数和隐函数的概念。
【参考学时】 5 学时
【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第二章 极限与连续
第一节 极限的定义
一、函数的极限
二、无穷小与无穷大
三、数列的极限
第二节 极限的性质及运算法则
一、极限的性质
二、极限的四则运算法则
三、复合函数的极限运算法则
第三节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在的两个准则
二、两个重要极限
三、应用举例
第四节 无穷小的比较
一、无穷小的阶的比较
二、等价无穷小之间的关系
三、等价无穷小替换求极限
第五节 函数的连续性
一、函数的连续性的概念
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二、函数的间断点
三、连续函数的运算
四、初等函数的连续性
第六节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大、最小值定理
二、零点定理与介值定理
第七节 极限计算方法举例
【基本要求】
一、熟练掌握极限存在与左右极限之间的关系，极限的性质及四则运算法则；熟练掌
握用变量代换求某些简单复合函数的极限，熟练掌握两个重要极限和无穷小的性质求极限；
熟练掌握连续函数的运算法则，并能利用初等函数的连续性计算极限。
二、掌握并理解极限的概念、函数连续性的概念和函数在一区间上连续的概念，能正确
判断常用初等函数间断点的类型；能利用连续函数的性质证明较简单的问题；掌握无穷小
量的定义和阶的概念及其简单的运算。掌握无穷小与无穷大的概念、极限存在的两个准则，
掌握闭区间上连续函数的性质。
【参考学时】 15 学时
【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第三章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、导数的概念
二、导数的几何意义
三、函数可导性与连续性的关系
第二节 导数的运算法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
二、反函数、复合函数的求导法则
三、基本初等函数的导数公式
四、初等函数的求导方法
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的计算方法举例
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
一、隐函数的导数
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二、由参数方程所确定的函数的导数
三、取对数求导方法和相关变化率。
第五节 微分及其应用
一、微分的定义及基本运算法则
二、微分的几何意义
三、微分形式的不变性
四、微分在近似计算中的应用。
【基本要求】
一、熟练掌握用导数与微分的运算法则求函数的导数与微分的方法；熟练掌握基本初
等函数的求导公式；熟练掌握隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的导数以及这两类
函数中比较简单函数的二阶导数，会解一些简单实际问题中相关变化率问题。
二、掌握并理解导数和微分的概念；掌握导数、微分与连续之间的关系及导数的几何
意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。
三、了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量；了解微分概念中所包含的局部
线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性；了解微分在近似计算中的
应用；了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数。
【参考学时】 15 学时
【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一、Fermat 定理
二、Rolle 定理
三、Lagrange 中值定理
四、Cauchy 中值定理
第二节 L＇Hospital 法则
一、
0
0
型的 L＇Hospital 法则及其应用
二、


型的 L＇Hospital 法则及其应用
第三节 函数图形的某些几何性态的研究
一、函数单调性与极值
二、曲线的凹凸性与拐点
三、函数的极值与最大值、最小值问题
四、函数图形的描绘
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第四节 Taylor 公式
一、Taylor 公式
二、Taylor 公式的应用
第五节* 方程的近似解
【基本要求】
一、熟练掌握 L＇Hospital 法则，并能运用其计算各种不定型的极限；熟练掌握利用
导数判断函数的升降、确定函数的极值与最值、以及判断函数的凸凹性和拐点的方法。
二、掌握并理解 Rolle 定理、Lagrange 中值定理并会运用。
三、了解 Cauchy 中值定理和 Taylor 中值定理。
【参考学时】 13 学时
【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第五章 一元函数的积分学
第一节 定积分的概念及其基本性质
一、定积分问题举例
二、定积分的定义
三、定积分的基本性质
第二节 Newton-Leibniz 公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
二、原函数的概念
三、积分上限函数及其导数
四、Newton—Leibniz 公式
第三节 不定积分
一、不定积分的概念与基本性质
二、不定积分的换元积分法
三、不定积分的分部积分法
第四节 有理函数及某些可化为有理函数的积分
一、有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分
三、根式函数有理函数的积分
四、积分表的使用方法
第五节 广义积分
一、无穷限的广义积分
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二、无界函数的广义积分
第六节 定积分的计算
一、定积分的换元积分法
二、定积分的分部积分法
三、定积分的计算举例
【基本要求】
一、熟练掌握定积分的基本性质和不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换
元积分法和分 部积分法 （淡化特殊 积分技巧 的训练）， 并能灵活 运用；熟 练掌握
Newton-Leibniz 公式。
二、掌握并理解定积分的概念与几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不
作要求）；掌握原函数、不定积分的概念，理解积分上限函数及其求导定理。
三、了解一些有理函数的积分方法、两类广义积分及其收敛性及的概念。
【参考学时】 17 学时
【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第六章 定积分及其应用
第一节 定积分的元素法简介
一、定积分的元素法
第二节 定积分在几何学中的应用
一、平面图形的面积
二、某些立体的体积
三、平面曲线的弧长
第三节 *定积分在物理学、化学、生物学中的应用
一、变力沿直线所作的功
二、 液体的压力
三、 物体的引力
四、黏液定常流动时管流量的测定
五、平均值
【基本要求】
一、掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法,会运用定积分的元素法求平面
图形的面积、已知平行截面面积的立体的体积、旋转体的体积、光滑曲线的弧长；
二、了解定积分在物理、化学、生物学等方面上的应用.
【参考学时】 10 学时
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【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第七章 向量代数与空间解析几何简介
第一节 向量及其线性运算
一、空间直角坐标系
二、向量的概念及线性运算
三、向量的模、方向角、投影
第二节 向量的数量积与向量积
一、两向量的数量积
二、向量积
三、*混合积
第三节 平面与空间曲线
一、平面方程
二、空间直线方程
第四节 曲面和空间曲线
一、曲面方程的概念
二、空间曲线方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
四、柱面
五、旋转曲面与常见的二次曲面
【基本要求】
一、熟练掌握空间直角坐标系，会求两点间的距离；熟练掌握向量的概念、表示及其
运算法则；熟练掌握用坐标表达式进行向量运算； 熟练掌握向量的数量积、向量积；熟练、
掌握直线和平面方程的概念及其求法。
二、理解解向量垂直与平行的条件；理解空间曲线在坐标面上的投影。理解曲面方程
的概念；理解空间曲线方程的概念、
三、了解混合积；了解空间点线、点面之间的距离；了解线线、线面、面面间的夹角
和距离；了解空间曲线的参数方程和一般方程。
【参考学时】 10 学时
【参考资料】 杨兴云等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第八章 多元函数的微分学及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集
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二、多元函数的概念
三、二元函数的几何意义
第二节 多元函数的极限与连续
一、多元函数的极限
二、多元函数的连续性
三、有界闭区域上连续函数的性质
第三节 偏导数与全微分
一、偏导数的概念、计算
二、高阶偏导数
三、全微分的概念、全微分存在的条件及计算
第四节 复合函数偏导数的求导法则
一、复合函数偏导数的求导法则
二、复合函数的偏导数的计算
三、一阶全微分形式的不变性
第五节 隐函数微分法
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
第六节 方向导数和梯度
一、方向导数的概念及计算
二、梯度的概念及其意义
第七节 *多元函数的 Taylor 公式
第八节 多元函数的极值
一、多元函数的极值的概念及计算
二、多元函数的最大（小）值的计算
三、条件极值与*拉格朗日乘数法
第九节 多元函数微分学在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
二、空间曲面的切平面与法线
【基本要求】
一、熟练掌握偏导数、全微分及其简单函数的高阶偏导数的求法；熟练掌握多元函数
极值存在的必要条件，会求简单多元函数的极值、最大（小）值及其简单应用题。
二、掌握并理解二元函数的概念及其几何意义；掌握并理解偏导数，全微分的概念与
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多元函数极值和条件极值的概念。
三、了解多元函数的概念、方向导数和梯度的概念及计算方法；了解空间曲线的切线
与法平面方程、空间曲面的切平面与法线方程的求法；了解二元函数的极限与连续的概念
以及闭区域上连续函数的性质；了解 Lagrange 乘数法。
【参考学时】 20 学时
【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第九章 多元函数的积分学及其应用
第一节 几何体上的积分及其基本性质
一、何体上的积分的概念
二、几种常见形式的几何体上的积分
三、几何体上积分的基本性质
第二节 二重积分的计算法
一、二重积分的几何意义
二、直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算
第三节 三重积分的计算
一、在直角坐标下计算三重积分
二、在柱坐标系下计算三重积分
三、在球面坐标系计算三重积分。
第四节 *第一类曲线积分与曲面积分的计算
一、第一类曲线积分性质与计算
二、第一类曲面积分的性质与计算
第五节 *第二类曲线积分与曲面积分
一、第二类曲线积分的概念、性质与计算
二、第二类曲面积分的概念、性质与计算
第六节 *几种积分间的联系
一、两类曲线积分之间的转化
二、两类曲面积分之间的转化
三、Green 公式
四、Gauss 公式
五、Stokes 公式
第七节 *积分与路径无关的条件
一、平面曲线积分与路径无关的条件
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二、二元函数的全微分求积
三、*空间曲线积分与路径无关的条件
第八节 *场论初步
一、场的概念
二、向量场的散度、旋度、通量、环流量
第九节 *多元函数积分学的应用
一、积分的元素法简介
二、质心、转动惯量和引力
【基本要求】
一、熟练掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算简单的三重积分（直
角坐标、柱面坐标、*球面坐标）。
二、了解几何体上的积分的概念、第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念；掌握两
类曲线积分（对空间曲线的计算只做简单训练）和两类曲面积分的计算方法；掌握 Green
公式、Gauss 公式，并会灵活运用。了解两类曲线积分的性质及其关系、两类曲面积分的性
质及其关系；了解第二类平面曲线积分与路径无关的物理意义，了解 Stokes 公式，了解场
的基本概念，了解散度、旋度、通量、环流量的概念及其计算方法；了解科学技术问题中
建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单的几何量和物理
量的积分表达式。
【参考学时】 20 学时
【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第十章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念及其基本性质
一、常数项级数的概念
二、常数项级数的基本性质
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及 Leibniz（莱布尼兹）定理
三、绝对收敛与条件收敛的概念
四、任意项级数敛散性的判别方法
第三节 函数项级数
一、函数项级数的概念及其基本性质
二、*函数项级数的一致收敛性及其判别法
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三、*一致收敛的函数项级数的性质
第四节 幂级数
一、幂级数的概念及基本性质
二、幂级数的收敛域及收敛区间
三、幂级数的运算及和函数的分析性质
四、函数的泰勒级数及泰勒级数展式在近似计算中的应用
五、*Euler 公式
第五节 *Fourier（傅里叶）级数
一、三角函数系的正交性及三角级数系
二、周期函数展开成傅里叶级数
三、一般函数展开成傅里叶级数
【基本要求】
一、熟练掌握利用收敛级数的性质判别级数收敛的一些方法；熟练掌握达朗贝尔判别
法，能判别级数的绝对收敛和条件收敛；熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径的求法，
能利用间接展开法将初等函数展开成幂级数。
二、理解无穷级数的和与收敛的概念。
三、了解用泰勒级数在近似计算中的应用。
【参考学时】 20 学时
【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.
第十一章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
二、微分方程解、通解与特解、初始条件
三、微分方程的几何意义
第二节 可分离变量的一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、可化为可分离变量方程的几种类型
第三节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
二、Bernoulli 方程
第四节 *全微分方程
一、全微分方程的概念及全微分方程的解法
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二、积分因子
第五节 某些高阶微分方程的降阶解法
一、形如 )(
)(
xfy
n
 的微分方程
二、形如 ),( yxfy  的微分方程
三、形如 ),( yyfy  微分方程
第六节 n 阶线性微分方程解的结构
一、函数之间的线性相关与线性无关
二、二阶线性微分方程通解的结构
三、高阶齐次线性微分方程通解的结构
四、*n 阶线性微分方程的幂级数解法
第七节 n 阶常系数线性微分方程的解法
一、n 阶常系数齐次线性微分方程的解法—特征根法
二、n 阶常系数非齐次线性微分方程的解─比较系数法
三、Euler 方程
第九节 微分方程的应用举例
一、用微分方程解决实际问题的一般步骤
二、微分方程应用举例
【基本要求】
一、熟练掌握变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程的解法以及二阶常系数齐
次线性微分方程的解法。
二、掌握并理解微分方程的有关概念、二阶线性微分方程解的结构；掌握以及用降阶
法解特殊的高阶微分方程，会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它
们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；掌握用微分方程解决一些简
单的应用问题的方法。
三、了解全微分方程的解法、某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程和 Euler 方程的
解法。
【参考学时】 20 学时
【参考资料】 李桂范等编，高等数学[M].哈尔滨： 哈尔滨出版社，2009 年.