2018年河北工程大学高等数学考研大纲

科目名称：高等数学
一、考试性质
高等数学是河北工程大学为招收农学类学术型硕士研究生而设
置的全国研究生招生考试业务考试科目，属学校自行命题的性质。它
的评价标准是高等学校优秀本科毕业生能达到的及格或及格以上水
平，以保证被录取者具有基本的数学理论知识并有利于学校在专业上
择优选拔。
二、考试的学科范围
应考范围包括：高等数学、线性代数
三、评价目标
数学（农）考试的目标在于考查考生理解和掌握数学的基础知识、
基本理论和基本方法，准确分析、判断和解决有关问题的能力。
四、考试形式与试卷结构
1.答卷方式：闭卷，笔试。
2.试卷分数：满分为 150 分。
3.试卷结构及分值比例：高等数学约占 80%；线性代数约占 20%。
4.试卷题型及分值：一、选择题（8×4=32 分）；二、填空题（6
×4=24 分）；三、解答题（包括证明题、综合题） （94 分）。
五、考试内容与考试要求
高等数学部分
（一）函数、极限、连续
考试内容:
函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，
反函数、复合函数、隐函数和分段函数，基本初等函数的性质及其图
形，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立，数列极限与函数极
限的定义以及它们的性质，函数的左右极限、无穷小，无穷大、无穷
小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则:单调有界准则和
夹逼准则，两个重要极限:
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区
间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）。
考试要求:
1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.会建立简单应用问题中的函数关系式。
6.理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与
左、右极限之间的关系。
7.掌握极限的性质及四则运算。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两
个重要极限求极限的方法。
9.理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小
求极限。
10.理解函数连续性的概念，会判断函数间断点的类型。
11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，最大值、
最小值定理和介值定理，并会利用这些性质。
（二）一元函数微分学
考试内容:
导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，导数的可导性
与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，
导数和微分的四则运算，反函数、复合函数、隐函数以及参数方程所
确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数的 n 阶导数，
一阶微分形式不变性，微分在近似计算中的应用，罗尔（Rolle）定理，
拉格朗日（Lagrange）定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）
定理，洛必达（L ’ Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数增减
性和函数图形的凹凸性的判定，函数图形的拐点及其求法，渐近线，
描绘函数的图形，函数最大值和最小值的求法及简单应用，弧微分，
曲率的概念及计算，曲率半径，方程近似解的二分法和切线法。
考试要求:
1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线
的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导性，掌握基本初等
函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变
性，了解微分在近似计算中的应用。
3.了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。
4.会求分段函数的一阶、二阶导数。
5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会
求反函数的导数。
6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理和泰勒定理。
7.了解并会用柯西中值定理。
8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数
极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及简单应用。
9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求
水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
10.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
12.了解求方程近似解的二分法和切线法。
（三）一元函数积分学
考试内容:
原函数和不定积的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，
定积分的概念和性质，积分中值定理，变上限定积分及其导数，牛顿
-莱布尼茨（Newton–Leibniz）公式，不定积和定积分的换元积分法与
分部积分法，有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分，广
义积分的概念及计算，定积分的近似计算法，定积分的应用。
考试要求:
1.理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，理解定积分
中值定理。
2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换
元积分法与分部积分法。
3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
4.理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿
–莱布尼茨公式。
5.了解广义积分的概念并会计算广义积分。
6.了解定积分的近似计算法。
7.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面
积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知
的立体体积、作力变功、引力、压力和函数平均值等）。
（四）常微分方程
考试内容:
常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解，变
量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程，可降阶的高阶微分方程，
线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数线性微分方程，
高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次
线性微分方程。
考试要求:
1.了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握变量可分离方程及一阶线性方程。
3.会解齐次方程。
4.会用降阶法解下列方程:
，
5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二
阶的常系数齐次线性微分方程。
7.会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它
们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会用微分方程解决一些简单的应用问题。
（五）多元函数微分学
考试内容:
多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭域上连
续函数的性质，偏导数、全微分的概念、全微分存在的必要条件和充
分条件，复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数极值概
念及求法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
考试要求:
1.理解多元函数概念。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函
数的性质。
3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充
分条件。
4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求隐函数的偏导数。
6.理解多元函数的极值概念，会求简单多元函数的最大值和最小
值，并会解决一些简单的应用问题。
（六）多元函数积分学
考试内容:
二重积分的概念与性质，二重积分的计算方法。
考试要求:
1.了解二重积分的概念与性质。
2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。
线性代数部分
（一）行列式
考试内容:
行列式的定义、性质和计算。
考试要求:
1.了解行列式的定义和性质。
2.掌握三、四阶行列式的计算。
3.理解克莱姆（Cramer）法则。
（二）矩阵
考试内容:
矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它
们的性质，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行
列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，
矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
考试要求:
1.理解矩阵的概念。
2.了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵以及它们的性质。
3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，它们的运算规律，了解方
阵的幂、方阵乘积的行列式。
4.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分
必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。
5.掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质，理解矩阵秩的概
念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
（三）向量
考试内容:
向量的概念，向量组的线性相关和线性无关，向量组的极大线性
无关组，向量组的秩，向量组的秩和矩阵秩的关系。
考试要求:
1.理解 n 维向量的概念。
2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，了解并会用有关向量
组线性相关、线性无关的重要结论。
3.了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组
的极大线性无关组及秩。
4.了解向量组的秩和矩阵秩的关系。
（四）线性方程组
考试内容:
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有
解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程
组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解，初等变换求解线性
方程组的方法。
考试要求:
1.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性
方程组有解的充分必要条件。
2.理解齐次线性方程组的基础解系，通解的概念。
3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
4.掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法。
（五）矩阵的特征值和特征向量
考试内容:
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法，相似变换、相似
矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件，实对称阵的
相似对角矩阵。
考试要求:
1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征
值和特征向量。
2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条
件。
3.掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。