2017年合肥师范学院复试《初等数学研究》考研大纲

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合肥师范学院
全日制教育硕士专业学位研究生复试科目考试大纲
——初等数学研究
一、考查目标
全日制攻读学科教学（数学）教育硕士专业学位复试初等数学研究科目考试内容包括初等代数研究、初等几
何研究两个部分，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关知识、理论和方
法去分析、解决初等数学问题。
二、考试形式与试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 90 分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
（三）试卷内容结构
各部分内容所占分值为：
初等代数研究约 50 分
初等几何研究约 50 分
（四）试卷题型结构
选择题：10 小题，每小题 3分，共 30 分
填空题：5小题，每小题 4 分，共 20 分
解答题：5小题，每小题 10 分，共 50 分
三、考查范围
初等代数研究：数的理论，函数的理论 （包括式、函数、方程、不等式、数列、排列组合二项式定理等）
初等几何研究：几何变换，三角形、四边形、圆的重要性质及著名定理 ，几何不等式，平面几何解题的基
本方法，几何作图
初等代数研究
1、考查目标
（1）系统掌握数的发展史，科学数系的扩充，自然数、整数、有理数、实数和复数的定义与性质。
（2）掌握式和函数的定义、分类和性质，会运用式的恒等变换解决问题，会研究函数的基本性质。
（3）掌握方程（组）、不等式（组）的概念及分类，解方程（组）、不等式（组）的理论与方法，会解特
殊类型的方程（组）、不等式（组），了解著名的代数不等式，会证明不等式。
（4）掌握排列组合与二项式定理，掌握数列的概念、性质，会求解数列相关问题。
2、考查内容
2.1 数的理论
（1）数的历史
数的历史发展的顺序，产生的历史背景和形成过程。
（2）自然数
自然数的基数理论和序数理论。
（3）科学的数系
①数系扩充的原则
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数系扩充的原则和两种基本形式。
②数集的定义与性质
整数集、有理数集、实数集和复数集的定义、性质。
2.2 式的理论
（1）式的定义
初等运算的概念及分类，式的定义及分类
（2）解析式及其恒等变换
解析式、多项式、分式、、根式、指数式、对数式、三角式和反三角式的概念、性质及其恒等变换。
2.3 函数的理论
（1）函数的定义与分类
函数定义的演变；函数的现代定义；函数的表示法与分类。
（2）基本初等函数的公理化定义
基本初等函数与初等函数的概念及分类；基本初等函数的公理化定义
（3）函数的性质
基本初等函数的图像与性质；函数基本性质的研究与运用。
2.4 方程（组）与不等式（组）
（1）方程（组）与不等式（组）的概述
方程（组）与不等式（组）的的概念、分类。
（2）方程（组）与不等式（组）的解法
解方程（组）与不等式（组）目的理论基础；方程（组）与不等式（组）的解法；一元三次、四次方程的公
式解；超越方程、不定方程、倒数方程和函数方程的解法。
（3）不等式的证明
不等式的证明方法；均值不等式及其推广；著名代数不等式。
2.5 排列组合与二项式定理
（1）排列组合
两个计数基本原理；排列、组合的概念、计算公式及应用。
（2）二项式定理
二项式定理；组合数的性质；组合恒等式；二项式定理的应用。
2.6 数列
（1）数列概述
数列的定义、分类；等差、等比数列的性质及应用。
（2）两类特殊数列
高阶等差数列和线性递推数列；母函数法和特征根法。
初等几何研究
1、考查目标
（1）系统掌握几何变换的基本知识和基本方法，能够用几何变换解决几何问题。
（2）掌握几何中基本图形、基本性质和基本量。
（3）掌握三角形、四边形和圆的重要性质和著名定理，了解重要的几何不等式。
（4）掌握平面几何问题研究的基本方法，了解几何图形的存在性。
2、考查内容
2.1 几何变换
几何学与变换群；反射变换与合同变换的概念、性质与应用；相似变换和位似变换的概念、性质与应用；反
演变换的概念、性质与应用。
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2.2 基本图形、基本性质和基本量
平面几何中的基本图形及其基本性质和基本量；著名几何定理：梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯坦纳-莱姆斯
定理、莫莱定理、圆幂定理、托勒密定理、蝴蝶定理等；三角形的巧合点与三角形的伴随三角形。
2.3 几何不等式
几何中的最值问题；费尔马点——三村短路问题；著名的几何不等式：埃多斯-莫德尔不等式、几类几何三
角不等式、纽伯格-匹多不等式。
2.4 平面几何问题研究的基本方法
纯几何法；代数法；解析法；面积法；三角法；向量法。尺规作图与几何图形的存在性。
主要参考书目：
葛军，涂荣豹编著．初等数学研究教程（第二版）[M].南京：江苏教育出版社，2009 年
郭要红，戴普庆．中学数学研究（修订版）[M]. 合肥：安徽大学出版社，2012 年