2017年海南师范大学学科教育(数学)高等数学考研大纲

海南师范大学 2017 年硕士研究生入学考试初试科目
考 试 大 纲
科目名称: 高等数学
适用专业: 学科教育(数学)
一、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
本试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。
二、考查目标（复习要求）
全日制攻读硕士学位研究生入学考试高等数学科目考试内容包括高等数学一门学科基
础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关理论
和方法分析、解决相关的实际问题。
三、考试内容概要
第一章极限与连续
1、考试内容
函数概念及其表示法，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数，双曲函数与反
双曲函数；数列极限，函数极限，极限运算法则，无穷小与无穷大量，无穷小的比较，极限
存在准则及两个重要极限，函数的连续性，函数的间断点，初等函数的连续性，闭区间上函
数连续的性质。
2、考试要求：
函数部分内容中学已学过，只加以复习提高，不作详细讲解。着重理解函数的定义、分
段函数的概念、基本初等函数与初等函数的定义。理解极限的ε -N 或ε -δ 说法，掌握极限
的四则运算法则；了解极限存在的两个准则，会用两个重要极限求极限；掌握无穷小、无穷
大的概念及无穷小的比较、无穷小与无穷大的关系、无穷小与函数极限的关系；理解连续概
念，会判断间断点的类型；掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。
3、重点、难点：
重点：掌握极限的概念，并要对极限思想有深刻的理解，会求函数的极限。
难点：复合函数的定义、定义域；用极限的ε -N 或ε -δ 说法证明极限。
第二章一元函微分学
1、考试内容
导数概念，函数求导法则，基本初等函数的导数及初等函数的求导问题，高阶导数，隐
函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，函数微分的概念，基本初等的微分及微分运
算法则，微分在近似计算及误差估计中的应用；中值定理，罗必塔法则，泰勒公式，函数单
调性的判定法，函数极值及其求法、最大值、最小值的求法，曲线的凹凸与拐点，函数图形
的作法。
2、 考试要求
掌握导数概念，会用导数概念推导出导数基本公式；掌握导数的几何意义；能用导数描
述一些物理量；熟练掌握导数基本公式、求导法则，能准确地求初等函数的导数；会求高阶
导数、隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数；掌握微分概念、微分的运算法则、
微分与导数的关系，会求函数的微分，掌握一阶微分形式不变性，会用微分进行近似计算；
掌握 Rolle 定理，Lagrange 定理，了解 Cauchy 定理，会应用 Lagrange 定理；能熟悉准确
地用罗必塔法则求未定式的极限；掌握利用导数讨论函数和曲线的性态的方法，并能描绘函
数的图形；能解决常见的求最大、最小值应用题。
3、重点、难点：
重点：求函数的导数。Lagrange 定理、利用导数讨论函数和曲线的性态。
难点：复合函数求导法、隐函数求导法。求实际问题的最大、最小值。
第三章一元函数积分学
1、考试内容：不定积分的概念、性质与基本积分公式，换元积分法，分部积分法，几
种特殊类型函数（有理函数、三角函数的有理式，简单无理函数）的积分；定积分概念及其
性质，微积分基本公式，定积分换元法，定积分分部积分法，广义积分，定积分的近似计算；
定积分的微元法，定积分在计算面积，体积及曲线弧长中的应用，定积分在物理中的应用，
平均值。
2、考试要求：掌握不定积分的概念及性质，熟练掌握换元积分法、分部积分法，会求
有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分。掌握定积分的概念和性质，掌握定积分
与不定积分的联系，掌握定积分的换元法和分部积分法，理解广义积分的概念，会求广义积
分值，了解定积分的近似计算的方法。掌握定积分的微元法，会利用定积分计算面积、体积
及曲线弧长，会利用定积分求重心、求功、求转动惯量。
3、重点、难点：
重点：定积分的概念和不定积分的计算、定积分的应用。
难点：定积分的应用。
第四章 微分方程
1、考试内容：
常微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程，阶线性方程与贝努利方程，
可降阶的高阶微分方程，高阶线性微分方程及其解的结构，二阶常系数线性微分方程，欧拉
方程。
2、考试要求：
掌握常微分方程的基本概念，熟练掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解
法，会解齐次型方程和贝努利方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想；会解可降阶的
高阶微分方程；掌握线性微分方程解的结构形式，能熟练地求二阶常系数齐次线性微分方程
的解，并会求非齐次（特殊类型）方程的特解，会用微分方程解决相关的几何、物理问题。
3、重点、难点：
重点：求一阶线性微分方程的解；分离变量法；常数变易法；求二阶常系数齐次线性微
分方程的解。
难点：降阶法；求非齐次方程的特解。
第五章 向量代数与空间解析几何
1、考试内容：
空间直角坐标系及两点间的距离，向量的概念及其运算（包括数量积与向量积），向量
的坐标，空间中的平面和直线，常见二次曲面。
2、考试要求：
理解空间直角坐标系，掌握两点距离公式；掌握向量概念及向量的线性运算、数乘向量、向
量的数量积和向量积；掌握向量的坐标表达式、两向量平行、垂直的条件；能熟练地运用坐
标表达式进行向量运算；熟悉空间平面和直线的方程及其求法；掌握球面方程、以坐标轴为
旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；对常见的二次曲面的方程，要求能说出
名称并画出图形；了解空间曲线的一般方程，了解坐标轴的变换。
3、 重点、难点：
重点：空间平面和直线的方程及其求法；由方程判断二次曲面的类型，并作出图形。
难点：判断二次曲面的类型及作出图形。
第六章 多元函数微分学
1、考试内容：
多元函数的概念，多元函数的极限与连续性，偏导数，全微分，多元复合函数的求导，
隐函数求导，偏导数的几何应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法，二元函数的
泰勒公式。
2、考试要求：
理解多元函数的概念（以二元函数为主），掌握二元函数的极限、连续性概念，了解有界闭
区域上连续函数的性质，理解偏导数、高阶偏导数、全微分的概念，了解全微分存在的必要
条件和充分条件；熟练、掌握多元复合函数的求导法，会求隐函数的偏导数；会利用偏导数
求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线方程，了解方向导数的概念及计算公式；
了解二元函数的泰勒公式；会利用偏导数求二元函数的极值，了解最小二乘法和拉格朗日乘
数法。
3、重点、难点：
重点：二元函数的极限、连续性概念；偏导数、全微分的概念及求法。
难点：复合函数及隐函数求导法；偏导数的应用。
第七章 重积分
1、考试内容：
二重积分的概念及性质，二重积分的计算法，二重积分的应用，三重积分的概念及其计
算方法。
2、考试要求：
理解并掌握二重积分的概念，掌握二重积分的性质，熟练掌握在直角坐标系和极坐标系
中计算二重积分的方法；理解三重积分的概念，了解其性质及在不同坐标系下的计算方法；
掌握应用重积分解决实际问题的思想方法，了解利用重积分计算曲面面积、计算质量、重心、
转动惯量的方法。
4、重点、难点：
重点：二重积分的概念及计算。
难点：如何将重积分化为累次积分。
第八章 曲线积分与曲面积分
1、考试内容：
曲线积分的概念及性质，曲线积分的计算，格林公式及其应用，曲面积分的概念及性质，
曲面积分的计算，高斯公式。
2、考试要求：
理解两类曲线积分的概念，掌握其计算方法，掌握格林公式，会运用曲线积分与路径无
关的条件；了解两类曲面积分的概念，知道其计算方法。
3、重点、难点：
重点：曲线积分概念及其计算
难点：曲线积分的计算。
第九章 无穷级数
1、考试内容：
常数项级数的概念及性质，常数项级数和收敛法，幂级数，函数展成幂级数，函数的幂
级数展开式的应用，傅里叶级数，正弦级数与余弦级数。
2、考试要求：
掌握级数、级数收敛、发散概念及收敛级数的基本性质，熟练掌握正项级数敛散性判别
法，掌握莱布尼兹判别法，掌握绝对收敛和条件收敛的概念，会判断级数收敛是属于绝对收
敛还条件收敛；掌握函数项级数的收敛域及和函数的概念，会求幂级数的收敛半径，掌握将
函数展成幂级数的方法，会求常见幂级数的和函数，会用幂级数进行近似计算；对傅氏级数
有初步了解。
3、重点、难点：
重点：数项级数敛散性判别法；常见函数展成幂级数。
难点：敛散性判别法，将函数展成幂级数，求收敛级数的和函数。
主要参考书：
（1）《数学分析》（上、下），华东师大数学系编，高等教育出版社
（2）微积分（上、下册）.同济大学应用数学系.北京市：高等教育出版社.