2017年南开大学数学分析与高等代数考研大纲

南开大学数学学院数理经济硕士研究生入学考试科目大纲
数学分析与线性代数
一、考试方法和考试时间
数学分析与线性代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟，
其中数学分析占 60%，90 分，线性代数占 40%，60 分。
二、考试内容大纲
（一）数学分析
1、一元微积分
（1）数列的极限；函数与函数的极限；无穷大与无穷小；连续与间断，连续函数及其性质、
一致连续
（2）导数、求导公式、求导法则、高阶导数；微分、微分中值定理；函数的单调性、极值、
函数的凸性；洛必达法则；泰勒公式
（3）实数理论及其应用：确界原理、子列、有限覆盖定理、闭区间上连续函数性质、上极
限和下极限
（4）不定积分的概念；换元积分法、分部积分法；有理函数的积分、三角函数有理式的积
分、无理函数的积分
（5）定积分的计算与性质；微积分基本定理；定积分的应用；广义积分；含参变量积分
2、多元微积分
（1）多元函数极限与连续；偏导数、全微分；多元函数的泰勒公式；隐函数存在定理；多
元函数极值和条件极值
（2）重积分的概念与性质；二重积分的计算、三重积分的计算、重积分的应用；第一型曲
线积分、第二型曲线积分；第一型曲面积分、第二型曲面积分；曲线积分与路径无关的条件；
Green 公式、高斯公式、斯托克斯公式
3、级数
数项级数的敛散判别与性质；函数项级数与一致收敛性；幂级数
（二）线性代数
1、行列式
行列式的概念、性质与计算；行列式按行（列）展开定理；拉普拉斯（Laplace）定理
2、矩阵
矩阵的概念与基本运算；单位矩阵、矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵；矩阵可逆的充分必要
条件；矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵等价、矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的
方法；分块矩阵
3、向量
向量的概念、向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线
性无关组、等价向量组、向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
4、线性空间与欧几里德空间
线性空间、线性空间的维数、基与向量的坐标；线性空间中的基变换与坐标变换、过渡矩阵；
欧几里德空间、内积、线性无关向量组的正交化方法、标准正交基、正交矩阵及其性质
5、线性方程组
线性方程组的克莱姆法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有
解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、
解空间；非齐次线性方程组的通解；求解线性方程组的方法
6、矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量的概念、求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质、若当标准型；
矩阵可对角化的充分必要条件
7、二次型
二次型及其矩阵表示；二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、二次型的标准化
方法；实对称矩阵的正定性及其判别法