2017年江苏大学853高等代数考研大纲

1
目录
I 考查目标........................................................................................ 2
II 考试形式和试卷结构 ..................................................................2
III 考查内容..................................................................................... 2
IV. 题型示例及参考答案.................................................................4
2
全国硕士研究生入学统一考试高等代数考试大纲
I 考查目标
要求考生 比 较 系 统 地 理解 高 等 代 数 的基本概念和基本理论，掌握 高 等 代 数
的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分
析问题和解决问题的能力。
II 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容与题型结构
计算题（30%）、证明题（70%）
III 考查内容
一、多项式
1.熟练掌握多项式因式分解理论及整除理论。
2.掌握多项式、不可约多项式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可约等概
念的联系与区别。
3.掌握带余除法、辗转相除法、艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。
4.会求两个多项式的最大公因式，会求有理系数多项式的有理根，会判别两个多项式互素。
二、行列式
1.熟练掌握行列式的性质及行列式的计算。
2.掌握 n 阶行列式的定义。
3.掌握克拉默（Cramer）法则。
三、线性方程组
3
1.熟练掌握向量线性相关性的概念、性质、判别法，会求向量组的秩及最大线性无关组。
2.掌握基础解系的概念及计算，熟练掌握线性方程组的解的判别定理 ，以及齐次和非齐
次线性方程组的求解。
3.熟练掌握矩阵的秩的概念及计算。
四、矩阵
1.熟练掌握矩阵、可逆矩阵、初等矩阵的概念与性质。
2.理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算及思想方法。
3.熟练掌握矩阵的加法、减法、乘法，数乘、转置等运算。
4.熟练掌握可逆矩阵的判别方法及逆矩阵的计算。
5.能熟练使用矩阵的初等变换方法。
五、二次型
1.掌握二次型的标准形、实二次型的规范形的概念。
2.熟练掌握正定二次型的概念、性质、判别方法。
3.掌握化二次型为标准形的思想方法。
4.理解合同矩阵的概念及背景。
六、线性空间
1.掌握线性空间、子空间的概念及判定方法。
2.掌握基与维数的概念、性质及求法，能熟练运用维数公式、基变换公式，会求过渡矩阵。
3.掌握子空间的交与和的概念、性质及求法。
4.熟练掌握子空间的直和的概念、性质。
5.理解线性空间的同构及判定方法。
七、线性变换
1.掌握相似矩阵的概念、背景、性质及判定方法。
2.熟练掌握特征值和特征向量的概念、性质及求法。
3.熟练掌握线性变换的矩阵可对角化的条件及方法。
4
4.掌握不变子空间的概念及判定方法。
5.掌握线性变换的概念、性质、运算及判定方法。
6.掌握 Hamilton-Caylay 定理及其应用。
7.掌握线性变换的值域与核的概念、性质及求法。
8.会求线性变换的矩阵、最小多项式。
八、  -矩阵
1.会求矩阵的 Jordan 标准型。
2.掌握矩阵的行列式因子、初等因子、不变因子的概念及求法。
九、欧几里得空间
1.掌握欧几里得空间、标准正交基与正交矩阵、对称变换与实对称矩阵、正交变换、正交补、
度量矩阵的概念与性质。
2.熟练掌握实对称矩阵正交对角化方法.
3.掌握正交矩阵判别方法。
4.会求欧几里得空间的标准正交基
IV. 题型示例及参考答案
一（20分）设
0 3 3
1 8 6
2 14 10
A
 
 
 
 
   
求： 1）A的不变因子、行列式因子、初等因子；
2）A的Jordan标准形.
二（20分）设线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4
3
2 4
ax x x
x bx x
x bx x
  

  
   
试讨论：当a,b分别取什么值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解
时求其一般解.
5
三（18分）设A是 n n 矩阵（ 2n  ）， *
A 是 A 的伴随矩阵.
试证明：当 ( )R A n 时， *
( )R A n ；而当 ( ) 1R A n  时， *
( ) 0R A  或1 .
四（20分）设 1 2
, , , m
   是 n 维欧氏空间V 中的一组向量，
记
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
m
m
m m m m
A
     
     
     
 
 
 
 
 
 


   

其中( , )i j
  为内积.
证明： 1 2
, , , m
   线性无关  0A  .
五（20 分）设 






2221
1211
AA
AA
A 是一对称矩阵，且 011
A .
证明：存在 






EO
XE
B ，使得 






*
11
O
OA
ABB
T
，
其中*表示一个阶数与 22
A 相同的矩阵.
六（20 分）设/A 是线性空间V 上的一个线性变换，若/A 可逆，且  是/A 的一个特征值，
则
1

是
-1
/A 的特征值.
七（18 分）设 ( ) { 0, }
n n n n
S A B P AB A P
 
   
(1) 证明: ( )S A 是 n n
P

的一个子空间；
(2) 若 ( )R A r ，问 dim ( ) ?S A 
八（14 分）设 ,  是复数域C 上的 n 维线性空间V 的两个非零线性变换.
( ) ( ) ,            ( ) ( ) ,        且dim Im( ) 1   .
试证： 与 有公共非平凡不变子空间.
6
参考答案
一．解： E A  的标准形为
 
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1 
 
 
 
 
  
不变因子 1，1，  
2
1  
行列式因子 1，1，  
2
1  
初等因子  ， 
2
1 
A 的 Jordan 标准形
0 0 0
0 1 0
0 1 1
 
 

 
  
二．解：D =
1 1
1 1
1 2 1
a
b
b
= -b(a-1)
当 D≠0 时，即 a≠1 且 b≠0 时，有唯一解
当 D=0 时，
若 b=0：R(A)=2，R(B)=3，无解
若 a=1：B=
1 1 1 4
1 1 3
1 2 1 4
b
b
 
 
 
 
 

1 1 1 4
0 1 0 1
0 2 1 0 0
b
b
 
 
 
 
  
当 b≠
1
2
: R(B)=3，R(A)=2 无解
当 b=
1
2
: B 
1 1 1 4
1
0 0 1
2
0 0 0 0
 
 
  
 
 
 
7
通解 0
1 2
0 2
1 0
k k  
   
   
   
   
   
   
，k 为任意常数。
三．证：若 R(A)=n：
1*
0
n
A A

   *
R A n 
若 R(A)=n-1: A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零。 *
( ) 1R A 
又 0A  ，
*
0AA A E  得 *
( ) ( )R A R A n 
*
( ) 1R A 
*
( ) 1R A 
若 R(A)＜n-1：A 中所有 n-1 阶子式全为 0，
0ij
A  （i,j=1,2,…,n） *
0A 
*
( ) 0R A 
四．证：设 1 1
... 0m m
k k   
则 1 1
( , ... ) 0i m m
k k     i=1,2,…,m
1 1 2 2
( . ) ( . ) ... ( . ) 0i i m i m
k k k          (i=1,2,…,m)
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
( . ) ( . ) ... ( . ) 0
( . ) ( . ) ... ( . ) 0
......
( . ) ( . ) ... ( . ) 0
m m
m m
m m m m m
k k k
k k k
k k k
     
     
     
    

    
 

    
1 2
, ,..., m
   线性无关  上述方程组只有零解  0A  。
五．证：令
1
11 12
0
E A A
B
E

 
  
 
12 21
T
A A  1 1
11 11
T
A A
 

1
11 12 11 12
1
21 11 21 22
0
0 0
T
E A A E A A
B AB
A A E A A


    
      
     
1
11 12 11 12
1
21 11 12 22
0 0 0
A A E A A
A A A A


  
   
    
8
11
1
22 21 11 12
0
0
A
A A A A

 
  
 
六．证：设/A =   为/A 属于  的特征向量
  =  / 1
A 

0 
 / 1
A 

=
1



1

是/ 1
A

的特征值。
七．解：1) 0 ( )S A ( )S A   且 ( )
n n
S A p


, ( )B C S A  AB=0,AC=0
( ) 0A B C AB AC    
( ) 0A k kAB  
( )S A 是 n n
p

的子空间。
2) 设 1 2 n r
   
， ， ... 是
1
2
0
...
n
x
x
A
x
 
 
  
 
 
 
的一个基础解系，考虑下列n n 矩阵
 1 1
, 0,..., 0B  ,  2 2
, 0,..., 0B  ,…,  , 0,..., 0n r n r
B  
 ,
 1 1
0, , 0,..., 0n r
B  
 …  2( )
0, , 0,..., 0n r n r
B  
 ,…,  ( )
0,..., 0,n n r n r
B  

则 0i
AB  （i=1,2,…,n(n-r)）.
显然 1 2 ( )
, ,..., n n r
B B B  线性无关，即为 S(A)的一组基
dimS(A)=n(n-r).
八．证：  dim 1m
I   
9
dim V n  ＞1. 令 1 2
, ,..., n
   为 V 的一组基
则 n 个向量   1
,..., n
       中必有一个非零向量。
不妨设  1
   ≠0，则上述这 n 个向量中其余 n-1 个均可由  1
   线性
表示，即：    1i i
k        i=2,…,n
  1
0i i
k       i=2,…,n
设  1 2 2 1 1
,..., n n
V L k k     
易证  1
0V Ker    
同时，由题设            ，           
易知 1
V 是线性变换 与 的非平凡不变子空间。