2017年江苏大学601数学分析考研大纲

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全国硕士研究生入学统一考试数学专业《数学分析》考试大纲
I 考查目标
全国硕士研究生入学统一考试数学专业 《数学分析》考试是为我校招收数学硕士生设置的具
有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必
须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为数学学科及
社会的发展培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决问题能力的高层
次、应用型、复合型的数学专业人才。考试要求是测试考生掌握分析、表达与解决问题的一些基
本能力和技能。
具体来说就是：要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和
方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的
能力。
II 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。
三、试卷内容与题型结构
一元函数微积分 约占 60%，多元函数微积分 约占 25%，无穷级数 约占 20
有以下三种题型： 填空题或选择题（20%）、计算题（30%）、综合题（50%）
III 考查内容
1、极限和函数的连续性
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（1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及
基本性质。
（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。
（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，聚点定理，有限覆
盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。
（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连
续的四则运算与复合运算性质。
（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理，
一致连续性。
（6）熟练掌握实数基本理论和性质，会用实数理论及性质表达和证明相关命题。
2、一元函数微分学
（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导
性与连续性之间的关系。
（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数
求导法则，会求分段函数的导数。
（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及
Taylor展式。
（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。
（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
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3、一元函数积分学
（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，
初等函数的积分。
（2）掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。
（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值
定理。
（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面
积，平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。
（5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别
法和 Dirichlet判别法。
4、无穷级数
（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，
积分判别法。
（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交
错级数的判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准
则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。
（5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。
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（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。
（7）掌握傅里叶级数的概念与性质，掌握傅里叶级数展开的方法。
5、多元函数微分学与积分学
（1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导
数与全微分，方向导数和梯度。
（2）掌握隐函数存在定理，隐函数和隐函数的求导方法。
（3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。
（4）熟练掌握重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的计算。
（5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及 Stoks公式。
6、含参变量积分
（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分和欧拉积分的概念与性质及一致
收敛的判别法。
（2）熟练掌握变上限积分及其性质。
IV. 题型示例及参考答案
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1 填空题（30 分）：
（1）极限 

 x
xx
x
3
0 sin
tansin
lim
2
1
 ；极限  

nn
n
22
sinlim 1 。
（2）函数  
1
 x
e
x
xf 的间断点是 0x ，该间断点的类型是第二类间断点。
（3）已知函数  xf 可导，且
 
x
xf
y
2
 ，则 y    
2
2
2
2
x
xf
xf  ；若取   x
xexf  。
则  
  0
21
y 21 。
（4）改变积分  
x
x
dyyxfdx 2
,
1
0
的积分次序为  
y
y
dxyxfdy ,
1
0
。其极坐标形式为
  


2
sin
cos
0
4
0
, rdrrfd 。
（5）级数 

1n
n
nx 的和函数是
 2
1 x
x

，及收敛区间为 1,1 。
2 叙述 axn
n


lim 的 N 描述，证明数列  
 n
n
1
发散。（6 分）
【解】 axn
n


lim 的 N 描述： 00
 ，使得对 N ， Nnk
 ，成立 0
 axn
。数列  
 n
n
1
发散：对任意实数 a ，取 10
 ，则可以取 12  akn ，则有 112
 aaax k
，故
数列  
 n
n
1
发散。
3 证明数列















n
n
n
x
1
1 收敛，若及其极限为 e ，进一步证明 e
x
x
x








1
1lim 。（8 分）
【证明】利用二项展开式，将 n
x 表示为
    
   









n
k
n
k
n
k
k
i
kk
k
nn
n
i
knknk
n
n
Cx
0 0 0 0
1
!
11
!!
!1
，
比较 1n
x 与 n
x 相应各项，注意到
nn
1
1
1
1
1 

 ，得到 nn
xx 1 ，即数列 n
x 是单调递增数列，又 


n
k
n
k
x
0 !
1
，当 1k 时，。
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恒有 1
2!


k
k ，则有 



n
k
kn
x
1
1
3
2
1
1 ，即数列有界，根据数列收敛准则，数列















n
n
n
x
1
1
收敛。若记 e
n
n
n








1
1lim ，对任意 x ，总是存在 n ，使得 1 nxn 则有
1
1
1
1
1
1
1
1





















nxn
nxn
，利用夹逼定理，我们得证 e
x
x
x








1
1lim 证毕。
4 设函数  xf 定义在  ,a 上，  xf 在每一个有限区间 ba, 内有界并满足
     Axfxf
x


1lim 。试证明：
 
A
x
xf
x


lim .（10 分）
【证明】由题设条件知，对 0 ， aX  0
（ 00
X ），当 0
Xx  时，成立
   
3
1

 Axfxf （1）
任取 0
Xx  ，记  0
xxnx
 ， x
nxxL  0
，则显然 10  L ，于是 x
nLxx  0
，
Lxnx x
 0
，由（1）式，有
   
    


 xn
k
x
xx
AnkLxfkLxf
n
A
n
Lxfxf
1
00
0
1
1
   
33
1
1
1
1
00

 

x
x
n
kx
n
n
AkLxfkLxf
n
x
（2）
根据  xf 在  1, 0
xa 上的有界性，有
 
0lim 0


 x
Lxf
x
，及 0lim 0



A
x
Lx
x
，于是
aX  1
，当 1
Xx  时，成立
 
3
0



x
Lxf
，
3
0



x
Lx
（3）
又
       
A
x
Lx
x
Lxf
A
n
Lxfxf
x
n
A
x
xf
x
x











 000
     
A
x
Lx
x
Lxf
A
n
Lxfxf
x
n
x
x











 000
（4）
现在取  10
,max XxX  ，则当 Xx  时，）2）（3）同时成立，由（4）我们得到
 
A
x
xf
x


lim 。
5.设函数  xf 在区间 I 只有可去间断点，令    yfxg
xy 
 lim ，证明  xg 为连续函数。（6 分）
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【证明】记  xf 的间断点全体为 E ，记 EID  ，由题设，  xg 在 D 上处处有定义。
Dx  0
。由    yfxg
xy 0
lim0

 ，对任意 0 ，存在 00
 ，当 00
0  xy 。且 Dy  时，
总有         00
xgyfxg （1）
对任意   DxUx  00
0
, ，考虑到开邻域的开集性质，存在    00
0
1
,,  xUxU  ，则对任意
 1
,xUy  且 Dy  ，（1）成立，令 xy  ，取极限得到
       

00
lim xgyfxg
xy
，也即         00
xgxgxg
即对任意  00
0
.xUx  ，成立      0
xxxg ，则    0
0
lim xgxg
xx


，证明  xg 在 0
x 处连续，
由于 0
x 的任意性，证明  xg 为连续函数。
6..已知  xf 在区间  ba, 内具有单调的导数，证明  xf 的导函数在区间 ba, 内连续。（6 分）
【证明】不妨设  xf  在  ba, 内单调递增，对任意  bax ,0
 ，在在 0
x 的左半邻域  0
xU 
中，
 xf  单调递增且以  0
xf  为其上界，在 0
x 的右半邻域  
xU 中，  xf  单调递增且以  0
xf  为
下届，则由单调有界定理，极限  xf
xx

 00
lim 和  xf
xx

 00
lim 存在，由单侧导数的定义。知道
   0_
00
lim xfxf
xx


，   )(lim 0
00
xfxf
xx


 ，因为  0
xf  存在，其左右极限相等，故而得到
   0
0
lim xfxf
xx


。则  xf  在 0
x 连续，由 0
x 的任意性，得证  xf  在区间 ba, 内连续。
7..设函数  xf 在区间 ba, 上二阶可导且     0 bfaf ，试证明：存在点  ba, ，使
得  
 
   afbf
ab
f 

 2
4
 。（8 分）
【证明】取
2
ba
x

 ，由题设，得到下列 Taylor 展式：
   
 
2
1
222





 







  abfab
afaf
a
ba
f

，
2
1
ba
a

  ， （1）
   
 
2
2
222





 







  bafba
bfbf
a
ba
f

， b
ba


2
2
 ， （2）
由（1）和（2），并注意到题设条件得到
   
   
  0
8
212


 ab
ff
afbf

，
记       21
,max  fff  ，则
   
 
   
 
    21
2
21
2
88
 ff
ab
ff
ab
afbf 




 
2
4
1
abf   。
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8..证明;闭区间 ba, 的全体聚点的集合是 ba, 本身（8 分）
【证明】（1）设  bax , ，若 bax , ，则对 x 的任意邻域  ,xU ，取   ,,min axxb  ，
则     ,, xUxU  ，    baxU ,,  ，即  ,xU 中含有 ba, 的无数个点，即 x 为 ba, 的聚
点。
若 ax  ，取   ,min ab  ，则     ,, xUaU 
，    baaU ,, 
 ，在  .aU 
内含有
 ba, 的无穷多个点，则 a 为 ba, 的据点。
同理可证 bx  也是 ba, 的聚点。
（2）设 x 为 ba, 的聚点，且  bax , ，则 ax  或 bx  ，不妨设为 ax  ，则取 xa 0
 ，
则 00
 且      baxU ,, 0
 ，则在  0
,xU 中不含 ba, 的点，与聚点相矛盾，故  bax ,
综合（1）和（2）证得   baba ,, 

。
9..设  xf 和  xg 均为定义在  ba, 上的有界函数，若已知仅在  ba, 上有限个点处成立
   xgxf  ，则当  xf 在 ba, 上可积时，  xg 在 ba, 上也可积，且     
b
a
b
a
dxxgdxxf 。
（8 分）
【证明】设  xf 和  xg 仅在 k 个点 k
aaa ,, 21
上取值不同，记    ii
ki
agafM 
1
max ，
 
b
a
dxxfI 。对 0 ，存在 01
 ，使当 1
T 时，有  
2

 
T
ii
Ixf ，令







aM4
,min 1

 ，则当 T 时，有
       
T T
iiiiii
T
xfxgIxg    
T
ii
Ixf 
   
T
iii
xgf
2

    
2

   ii
T
gfT （1）
当 ii
a 时，     0 ii
gf  ，则     
T
ii
gf  中至多有 k 项不为 0，故从（1）式得到
  

  242
TkMIxg
T
ii ， 由 此 证 得  xg 在  ba, 上 可 积 且
    
b
a
b
a
dxxgdxxf 。
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101.设  xf 在 ,0 上连续，且   Axf
x


lim ，证明：   Adttf
x
x
x
 0
1
lim 。（8 分）
【证明】对任意 0 ，由   Axf
x


lim ，存在 0X ，当 Xx  ，有  
2

 Axf ，且在 Xx  ，
       
TTTT
dxAxf
T
Adxdxxf
T
Adxxf
T 0000
111
f
     
  









T
X
dxAxf
T
dxAxf
T
dxAxf
T
dxAxf
T
X
T
X
XT
1
2
1
111
0
00

注意到  xf 的连续性，得知   Axf  在闭区间 X,0 上连续有界，故令
  






  XdxAxfX
X
2,
2
max
0
1

则得到   

 22
1
0
Adxxf
T
T
，即   Adttf
x
x
x
 0
1
lim 。
11.已知曲线  cos1  ar ，其中 0a ，试求：（1）该曲线的弧长；（2）曲线所围图形的面
积；（3）曲线绕极轴旋转所成立体的曲面面积（12 分）。
【解】（1）由题设可知曲线关于极轴对称，故  


00
22
cos2222 dadryL ，
所以 aadaL 8
2
sin8
2
cos4 0
0
 

 


；
（2）曲线所围图形面积为   2
0
22
0
2
2
3
coscos21
2
1
2 adadrA 

  。
（3）曲面面积   2
0
2
0 5
32
2
cossincos142 adaaydsS 



  。
12.已知级数  n
a 收敛，且级数    nn
bb 1 绝对收敛，证明级数 nn
ba 收敛。（8分）
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【证明】因为级数  n
a 收敛，根据 Cauchy 收敛准则，对 0 ，存在 01
N ，使得当 1
Nn  ，
对任意自然数 p ，都有 


pn
nk
k
a （1）
由于    nn
bb 1
绝对收敛，对上述 0 ，存在 02
N ，使得当 2
Nn  ，对任意自然数 p ，
成立 



Mbb
pn
nk
kk 1
（2）
由根据收敛的定义。级数    nn
bb 1
的部分和有界，即  



n
k
nnn
bbbb
1
111
有界，也即
Mbn
 。利用 Abel 变换得到，当  21
,max NNNn  时，对任意自然数 p 。有
       










1 1
1211
n
nk
pn
nk
pn
nk
kpnkpnpnknnnnn
pn
nk
kk
ababbabbabbba 











pn
nk
kpn
pn
nk
kpnpn
pn
nk
knnnnn
ababbabbabb 1211

  MMbb
pn
nk
kk
 



1
1
。
根据 Cauchy 收敛准则，级数 nn
ba 收敛。
13.设函数  xf 在区间 





1,
2
1
上连续，证明：（1）   xfx
n
在 





1,
2
1
上收敛；（2）   xfx
n
在






1,
2
1
上一致收敛的充要条件是什么？证明之。（8 分）
【证明】（1）直接计算得到  
 







1,1
1
2
1
,0
lim
xf
x
xfx
n
n
，由此证明数列   xfx
n
在 





1,
2
1
上收
敛；（2）上述数列在 





1,
2
1
上一致收敛的充要条件是   01 f 。
第11页，共13页
必要性“由  xf 的连续性，故其在






1,
2
1
上有界，又函数数列   xfx
n
一致收敛且在该区间上
连续，则其极限函数  xg 在该区间上也连续，故       0lim11
1


xggf
x
。
充分性“设   Mxf  ，因为   01 f ，导数数列   xfx
n
的极限函数   0xg ，考虑到  xf
在 1x 处连续，所以对 0 ，存在 0 （不妨设
2
1
 ），当 `11  x 时，
       xffxf 1 ，由此我们得到：当 11  x 时，      xfxfx
n
0 ，当
 1
2
1
x 时，     Mxfx
nn
 10 ，显然   01lim 

M
n
n
 。综上所述，   xfx
n
在
上一致收敛。
14.已知  xf 为区间  , 上可积函数，且其 Fuier 级数在  , 上一致收敛于  xf ，证明成
立 Parseval 等式：      




 1
22
2
02
2
1
n
nn
ba
a
dxxf 。（8 分）
【证明】由题设，    



1
0
sincos
2 n
nn
nxbnxa
a
xf ，
所以        dxnxbnxa
a
xfdxxf
n
nn  


 









  1
02
sincos
2
11
     




1
0
sincos
1
2 n
nn
dxnxbnxaxfdxxf
a 



（这里用到了收敛的一致性质，即和运
算于积分运算可交换次序）
    






11
2
0
sin
1
cos
1
2 n
n
n
n
nxdxxfbdxnxxfa
a 


 
 



1
22
2
0
2 n
nn
ba
a
。
15..已知一元函数  x 在区间 ba, 上连续，令
   xyxf , ，       ,,, bayx ，试证明（1）  yxf , 是否连续？(2)  yxf , 是否一
致连续？（8分）
第12页，共13页
【证明】（1）由题设，对  bax ,0
 ，  x 连续，即对 0 ，存在   0,01
 x ，当
10
0  xx ，恒有       0
xx ，故对任意       ,,, 00
baDyx ，对任意
0 ，取 1
  ，则当     
2
0
2
0
0 yyxx （此时 10
0  xx 满足），
          000
,, xxyxfyxf
得知  yxf , 在点  0
, yx 处连续，由  0
, yx 的任意性，得到  yxf , 在 D 上处处连续。
(2)因为  x 在闭区间 ba, 上连续，故在闭区间 ba, 上一致连续，与（1）类似可以证明  yxf ,
是一致连续的。
16.设 yx
ff , 和 yx
f 在点  00
, yx 的某邻域内存在，且 yx
f 在点 00
, yx 处连续，试证明：  00
, yxf xy
存在且    000
,, yxfyxf yxoxy
 。（8 分）
【证明】注意到 xy
f 的定义表达式，令
        00000000
,,,),, yxfyyxfyxxfyyxxfyxF 
     yxfyxxfyg ,, 00
 ，对固定的 x
则      00
, ygyygyxF  ，由题设知道  yg 在 0
y 邻近可导，根据微分中值定理，得到
         yxfxxfygyxF yy
 10101
,,,  ，其中 1
 介于 0
x 和 xx 0 之间。又由题
设知道，  yxf y
, 在  00
, yx 邻近关于变量 x 可导，所以
      xfxfxxf yxyy
 121010
,,,  ，其中 2
 介于 0
x 和 xxo
 之间，也即 02
x
（ 0x 时）， 01
y （ 0y 时），得到
    yxfyxF yx
 12
,,  ，所以
 
 
 12
0000
00
,limlim
,
limlim, yx
xyxy
xy
f
yx
yxF
yxf




 ，考虑到 yx
f 在点 00
, yx 处连续，即证得
 00
, yxf xy 存在且    000
,, yxfyxf yxoxy
 .
必要性“由  xf 的连续性，故其在






1,
2
1
上有界，又函数数列   xfx
n
一致收敛且在该区间上
连续，则其极限函数  xg 在该区间上也连续，故       0lim11
1


xggf
x
。
充分性“设   Mxf  ，因为   01 f ，导数数列   xfx
n
的极限函数   0xg ，考虑到  xf
在 1x 处连续，所以对 0 ，存在 0 （不妨设
2
1
 ），当 `11  x 时，
       xffxf 1 ，由此我们得到：当 11  x 时，      xfxfx
n
0 ，当
 1
2
1
x 时，     Mxfx
nn
 10 ，显然   01lim 

M
n
n
 。综上所述，   xfx
n
在
上一致收敛。
14.已知  xf 为区间  , 上可积函数，且其 Fuier 级数在  , 上一致收敛于  xf ，证明成
立 Parseval 等式：      




 1
22
2
02
2
1
n
nn
ba
a
dxxf 。（8 分）
【证明】由题设，    



1
0
sincos
2 n
nn
nxbnxa
a
xf ，
所以        dxnxbnxa
a
xfdxxf
n
nn  


 









  1
02
sincos
2
11
     




1
0
sincos
1
2 n
nn
dxnxbnxaxfdxxf
a 



（这里用到了收敛的一致性质，即和运
算于积分运算可交换次序）
    






11
2
0
sin
1
cos
1
2 n
n
n
n
nxdxxfbdxnxxfa
a 


 
 



1
22
2
0
2 n
nn
ba
a
。
15..已知一元函数  x 在区间 ba, 上连续，令
   xyxf , ，       ,,, bayx ，试证明（1）  yxf , 是否连续？(2)  yxf , 是否一
致连续？（8分）
第13页，共13页
【证明】（1）由题设，对  bax ,0
 ，  x 连续，即对 0 ，存在   0,01
 x ，当
10
0  xx ，恒有       0
xx ，故对任意       ,,, 00
baDyx ，对任意
0 ，取 1
  ，则当     
2
0
2
0
0 yyxx （此时 10
0  xx 满足），
          000
,, xxyxfyxf
得知  yxf , 在点  0
, yx 处连续，由  0
, yx 的任意性，得到  yxf , 在 D 上处处连续。
(2)因为  x 在闭区间 ba, 上连续，故在闭区间 ba, 上一致连续，与（1）类似可以证明  yxf ,
是一致连续的。
16.设 yx
ff , 和 yx
f 在点  00
, yx 的某邻域内存在，且 yx
f 在点 00
, yx 处连续，试证明：  00
, yxf xy
存在且    000
,, yxfyxf yxoxy
 。（8 分）
【证明】注意到 xy
f 的定义表达式，令
        00000000
,,,),, yxfyyxfyxxfyyxxfyxF 
     yxfyxxfyg ,, 00
 ，对固定的 x
则      00
, ygyygyxF  ，由题设知道  yg 在 0
y 邻近可导，根据微分中值定理，得到
         yxfxxfygyxF yy
 10101
,,,  ，其中 1
 介于 0
x 和 xx 0 之间。又由题
设知道，  yxf y
, 在  00
, yx 邻近关于变量 x 可导，所以
      xfxfxxf yxyy
 121010
,,,  ，其中 2
 介于 0
x 和 xxo
 之间，也即 02
x
（ 0x 时）， 01
y （ 0y 时），得到
    yxfyxF yx
 12
,,  ，所以
 
 
 12
0000
00
,limlim
,
limlim, yx
xyxy
xy
f
yx
yxF
yxf




 ，考虑到 yx
f 在点 00
, yx 处连续，即证得
 00
, yxf xy 存在且    000
,, yxfyxf yxoxy
 .