2017年湖南师范大学实变函数考研大纲自命题考试大纲

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[ ] 考试科目名称：实变函数
一、考试形式与试卷结构
1)试卷成绩及考试时间：
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
（一）测度论与可测函数部分 40%
（二）Lebesgue 积分与不定积分部分 60%
4)题型结构
a: 计算题，2 小题，每小题 11 分，共 22 分
b: 证明题，6 小题，每小题 13 分，共 78 分
二、考试内容与考试要求
（一）测度论与可测函数部分
1、n 维欧式空间中的点集
考试内容：开集、闭集的构造、分离定理
考试要求：
 要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
 要求考生理解 Cantor 集。
 要求考生熟练掌握分离定理。
2、测度论
考试内容：Lebesgue 外测度，可测集、可测集类
考试要求：
 测度的定义和性质；
 掌握 Lebesgue 外测度和测度的定义和基本性质；
 练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性
质。
 掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；
 了解特殊的两类集合，波雷耳集。
3、可测函数
考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的
构造，依测度收敛
考试要求：
 熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几
乎处处成立的概念；
 理解叶果洛夫定理；
 理解并掌握鲁津定理及其逆定理；
 熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反
例，Riese 定理和 Lebesgue 收敛定理
（二）Lebesgue 积分与不定积分部分
1、Lebesgue 积分的概念与性质
考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的
极限定理
考试要求：
 理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运
算， 勒贝格积分与 Riemann 积分的关系；
 熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；
 熟练掌握一般可积函数的 L 积分的定义和初等性质。
 牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可
数可加性，Fatou 引理及有关积分与求导交换的定理。
2、微分和不定积分
考试内容：有界变差函数、绝对连续函数
考试要求：
 熟练掌握有界变差的定义，理解 Lebesgue 定理；
 充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
三、参考书目
[1] 江泽坚等编《实变函数论》（第 3 版），高等教育出版社，2007 年第 3 版 .
[2] 程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003 年第 2 版 .