2017年河南工业大学数学分析考研大纲

《数学分析》考试大纲
科目名称：数学分析
科目代码： 617
《数学分析》是数学专业研究生必考的科目，总分值为 150 分，
考试时间为 3 个小时。
本科目考试的基本知识以华东师范大学数学系编写的《数学分
析》（第三版）为基础，除去带*号的内容（包括：第六章§7 方程
的近似解；第七章§1 三实数完备性基本定理的等价性，§3 上极限
与下极限；第九章§6 可积性理论补叙；第十章§6 定积分的近似计
算）不考，其余内容都是考试所要求掌握的。
参考书目：
[1] 华东师范大学数学系,数学分析（第三版）,高等教育出版社，2008
年 4 月；
[2] 陈守信，数学分析选讲，机械工业出版社，2009 年 9 月.
参考题型：河南工业大学 2014 年硕士研究生入学考试试题（见
附页）。
附页
河南工业大学
2014 年硕士研究生入学考试试题
考试科目： 数学分析 共 2 页（第 1 页）
一、(24 分，每小题 8 分) 计算下列极限：
1. 1
2
1 1
lim 1 )
n
n n n

 
 （ ； 2.
2
0
1 cos
lim
1 cosx
x
x


；
3. lim sin sin sin ).
n  
  2 2 2
1 2 n
（
n n n
二、( 48 分，每小题 12 分) 计算下列各类积分：
1.
1
2 sin
I dx
x




 ；
2.
2 sin
y
x
I dy dx
x
 
 
   ；
3. 第二型曲线积分 2 2C
xdy ydx
x y


 ，其中C 为任意简单闭曲线，逆时针为正向；
4. 利用奥高公式计算
( ) ( ) ( )
s
I x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy         ，
其中 S 是八面体 1x y z y z x z x y         的外侧.
三、(36 分，每小题 12 分) 完成下列各题
1.(12 分) 按步骤做出函数
2
3
( 1)y x x  的图像．
2. 求幂级数
1
1 1
( 1) (1 )
2
n n
n
x
n


     的收敛域．
3. 设 ( , )z z x y 是由方程组
, ,
u v u v
x e y e z uv
 
   ，
确定的函数，求当 0, 0u v  时的
2
,dz d z ．
共 2 页（第 2 页）
四、(42 分) 完成下列证明题
1. (10 分) 若函数 ( )f x 在[ , )a   上连续， lim ( )
x
f x
 
存在，则 ( )f x 在[ , )a   上一
致连续.
2. (10 分) 设二元函数 f 在圆周 2 2 2
:C x y a  上连续，证明：存在C 的一条直径的
两个端点 A 与 B ，使得 ( ) ( )f A f B ．
3. (10 分) 证明方程
0
ln 1 cos 2
x
x xdx
e

   在 0  （ ， ）内有且仅有两个实根．
4. (12 分) 证明函数
2
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
x y
x y
x yf x y
x y

 
 

 
在原点(0, 0) 处连续，且存在
偏导数，但在 (0, 0) 处不可微．