2016年海南大学619数学分析考研大纲

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海南大学 2016 年硕士研究生入学考试
《619-数学分析》考试大纲
一、考试性质
海南大学 2016 年硕士研究生入学考试初试科目。
二、考试时间
180 分钟。
三、考试方式与分值
闭卷、笔试。满分 150 分。
四、考试内容
第一章 实数集与函数
邻域、有界集，确界概念、确界原理，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、
单调性、奇偶性及周期性。
第二章 数列极限
数列极限的定义与几何意义，收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列性质，单
调有界定理，柯西收敛准则，收敛与发散数列的证明，数列极限的求法，重要极限：
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lim(1 )n
n
e
n
 
第三章 函数极限
函数极限（含数列极限及无穷大）的定义，归结原则及柯西准则，两个重要极限
及函数极限的求法，等价无穷小与高阶无穷小。
第四章 函数的连续性
函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，函数在区间上一致连续的概
念，闭区间上连续函数的介值性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。
第五章 导数和微分
导数的概念与几何意义，求导法则、公式及各种求导法，函数极值与费马定理，
微分概念与性质，可导、可微与连续的关系。
第六章 微分中值定理及其应用
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函数单调性与凹凸性的判定，重点利用中值定理以及导数证明不等式与恆等式，
不定式极限求法，函数的极值与最值的求法及应用。
第七章 实数的完备性
了解区间套、点集聚点与开覆盖的概念与性质，实数完备性，七个基本定理（考
试不做要求）
第八章 不定积分
原函数与不定积分的概念，利用换元积分法与分部积分法求不定积分，常用的简
单的有理函数、三角函数与某些无理根式的不定积分。
第九章 定积分
定积分的概念、几何意义与主要性质，三类可积函数，变限积分的概念、性质以
及应用，微积分学基本定理与牛顿—莱布尼茨公式，定积分的计算，换元积分法的应
用。
第十章 定积分的应用
利用定积分求平面图像的面积、求立体体积以及求平面曲线弧长，微元法。
第十一章 反常积分
无穷积分敛散性的概念，几个常用的无穷积分的敛散性，无穷积分的比较判别法
与柯西判别法。
第十二章 数项级数
级数敛散性概念，常见级数的敛散性，正项级数敛散的比较判别法、比式与根式
判别法，p 级数的敛散性，交错级数与莱布尼茨判别法。
第十三章 函数列与函数项级数
函数列与函数项级数一致收敛性的概念，函数项级数一致收敛的 M 判别法，一致
收敛的函数列的极限函数与函数项级数的和函数的连续性、可积性与可导性。
第十四章 幂级数
幂级数的收敛半径与收敛域的求法，幂级数的主要性质，利用逐项积分与逐项求
导求某些幂级数的和函数，几个重要函数的幂级数展开式，将函数展开成幂级数的方
法。
第十五章 傅里叶级数
函数在区间( , 2 )c c  上展开成傅里叶级数与在(0,2 ) 上展开成正、余弦级数及其
收敛情况，并利用级数的展开式求某些级数的和。
第十六章 多元函数的极限与连续
邻域与区域的概念，二元函数的定义域，二元函数的极限求法，二元函数极限存
在性的证明，重极限与累次极限的关系。
第十七章 多元函数微分学
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二元函数的可微性、全微分概念，一阶全微分形式不变性，二元函数的偏导数及
高阶偏导数的概念及求法，方向导数的概念与求法，梯度的概念及意义，二元函数的
极值与判定，曲面的切平面与法线。
第十八章 隐函数定理及应用
隐函数、隐函数组、反函数组的存在条件与求（偏）导法，雅可比行列式，平面
曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线，重点用拉格朗日乘数法解条件极值问题。
第十九章 含参量积分
含参量正常积分的概念与性质，累次积分概念，含参量反常积分的一致收敛性概
念与 M 判别法，欧拉积分的概念、主要性质以及简单应用。
第二十章 曲线积分
第一型曲线积分概念、性质与计算，第二型曲线积分概念、性质与计算。
第二十一章 重积分
二重积分的几何意义，直角坐标系下二重积分的计算，二重积分的变量变换（主
要为线性变换，（广义）极坐标变换），格林公式，曲线积分与路线无关性，全微分
式及其原函数，三重积分化为累次积分计算，三重积分換元法（主要为：线性变换，
（广义）柱面变换，（广义）球坐标变换）。
第二十二章 曲面积分
第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念、性质以及计算，重点是高斯公式与斯
托克斯公式。