2015年湖南师范大学数值分析考研大纲

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[ ] 考试科目名称：数值分析
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
数值分析 100%
4)题型结构
a: 计算题，约 40 分
b: 证明题，约 30 分
c: 综合题，约 30 分
二、考试内容与考试要求
1、绪论
考试内容
绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限 有效数字 误差传播 算法稳
定性 减少误差传播的途径。
考试要求
（1） 了解科学研究的三种主要方法：实验，理论，科学计算；
（2） 了解三大误差；
（3） 理解算法存在数值稳定性问题；
（4） 了解几种误差，误差运算法则，数值计算的若干原则。
2、插值逼近
考试内容
Lagrange 插值 Newton 插值 误差估计 差分 差分表 均差表 Hermite 插值
样条函数插值 分段低次多项式插值。
考试要求
（1） 掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表
达式的证明；
（2） 理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；
（3） 了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；
（4） 掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；
（5） 了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。
3、最佳逼近
考试内容
离散最小二乘逼近 最佳平方逼近 正规方程组 正交多项式 最佳平方逼近
最佳一致逼近基本原理。
考试要求
（1） 掌握离散最小二乘逼近、最佳平方逼近的基本原理，正规方程组的形成
以及求解；
（2） 掌握正交多项式的基本性质及与最佳平方逼近的关系；
（3） 掌握几类基本的正交多项式及正交化手续；
（4） 了解最佳一致逼近的基本原理及某些简单的最佳一致逼近问题；
4、数值微积分
考试内容
数值求积 代数精度 插值型求积公式 Newton-Cotes 求积公式 复化求积公
式 Romberg 算法 Gauss 求积公式 复化梯形公式 复化 Simpson 公式 截断误差
误差公式 两点数值微分公式 三点数值微分公式 误差阶 插值型求导公式。
考试要求
（1） 掌握数值求积的基本思想、代数精度的概念与插值型求积公式的性质；
（2） 熟练地利用 Newton-Cotes 求积公式、各种复化求积公式、Romberg 算
法和 Gauss 求积公式计算数值积分；
（3） 掌握复化梯形公式和 Simpson 公式的误差分析方法及公式；
（4） 掌握两点数值微分公式、三点数值微分公式及其误差阶；
（5） 了解插值型求导公式的基本思想。
5、常微分方程数值解法
考试内容
常微分方程初值问题 Euler 方法 Runge-Kutta 方法。
考试要求
掌握求解常微分方程初值问题的 Euler 方法、Runge-Kutta 方法。
6、方程求根
考试内容
非线性方程求根 二分法 迭代法的收敛性 收敛速度 Newton 法 弦截法 收
敛阶 Newton 法的收敛性。
考试要求
（1） 了解非线性方程求根的二分法；
（2） 掌握迭代法的收敛性及收敛速度的定义；
（3） 掌握 Newton 法、弦截法的计算格式、几何意义以及相应的收敛阶；
（4） 了解 Newton 法收敛性证明的基本思路。
7、解线性方程组的直接方法
考试内容
线性方程组 高斯消元法 矩阵的三角分解 LU 分解法 全主元素消去法 列主
元素消元法 高斯-若当消去法 平方根法 追赶法 向量范数 矩阵范数 方程组
的性态 方程的稳定性。
考试要求
（1） 掌握求解线性方程组的高斯消元法和列主元素消元法；
（2） 能灵活地运用 LU 分解法、平方根法和追赶法求解相应类型的线性代数
方程组；
（3） 掌握向量范数、矩阵范数的基本概论与性质；
（4） 了解方程组的性态及稳定性。
8、解线性方程组的迭代法
线性方程组 Jacobi 迭代法 Gauss-Seidel 迭代法 SOR 迭代法 迭代法的
收敛性。
考试要求
（1） 掌握方程组迭代解法的基本思想以及相关的收敛性判断定理；
（2） 理解用正交相似变换约化矩阵；
（3） 掌握求解线性代数方程组的 Jacobi 迭代法、Gauss -Seidel 迭代法和
SOR 迭代法的计算格式；
（4） 掌握运用相关定理判断上述算法求解实际问题时的收敛性。
9、矩阵的特征值与特征向量计算
考试内容
计算矩阵特征值 特征向量 幂法 反幂法。
考试要求
（1） 掌握计算矩阵的按模最大特征值和相应特征向量的幂法；
（2） 掌握计算矩阵的按模最小特征值和相应特征向量的反幂法。
三、参考书目
[1] 李庆扬，王能超，易大义编，《数值分析》（第四版），华中科技大学出版社
（获教育部高等学校优秀教材二等奖，全国优秀畅销书奖）。
[2] 全惠云，邹秀芬，康立山，谢资清，何迎生编，《数值分析与应用程序》及
所带软件包。