2019年长江大学807高等代数考研大纲
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2019年长江大学807高等代数考研大纲

2019 年全国硕士研究生统一入学考试
高等代数 科目考试大纲
一、考查目标
高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一,也是大多数
理工科专业学生的必修基础课。
它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、
二次型理论、线性空间、线性变换、λ -矩阵、欧氏空间。要求考生
熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问
题能力。
二、考试形式和试卷结构
1、试卷满分及考试时间
本试卷满分 150 分,考试时间为 180 分钟。
2、答题方式
答题方式为闭卷、笔试
3、试卷题型结构
全卷一般由十个大题组成,具体分布为
计算题:5~6 小题,每题 10 分,约 50~60 分
分析论述题(包括证明、讨论、综合计算):5~6 大题,每题
15~20 分,约 75~100 分
三、考查范围
(一)多项式
1.一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不可约、
因式分解、 重因式、根及重根、多项式函数的概念及判别;
2.复根存在定理(代数基本定理);
3. 根与系数关系;
4.一些重要定理的证明,如多项式的整除性质,Eisenstein 判别法,
不可约多项 式的性质,整系数多项式的因式分解定理等;
5. 运用多项式理论证明有关命题,如与多项式的互素和不可约多项
式的性质有关 的问题的证明与应用;
6.用多项式函数方法证明有关结论。
(二)行列式
1. n-级排列、对换、n-级排列的逆序及逆序数和奇偶性;
2. n-阶行列式的定义,基本性质及常用计算方法(如三角形法、加
边法、降阶法、 递推法、按一行或一列展开法、Laplace 展开
法、Vandermonde 行列式法);
3. Vandermonde 行列式;
4. 行列式的代数余子式。
(三)线性方程组
1. 向量组线性相(无)关的判别及相应齐次线性方程组有(无)非
零解的相关向 量判别法、行列式判别法;
2. 向量组的极大线性无关组的性质,向量组之间秩的大小关系定理
及其三个推 论,向量组的秩的概念及计算,矩阵的行秩、列秩、
秩概念及其行列式判别法和计算;
3. Cramer 法则,线性方程组有(无)解的判别定理,齐次线性方程
组有(无)非 零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、
通解的求法;
4. 非齐次线性方程组的解法和解的结构定理;
(四)矩阵理论
1. 矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与矩阵
相关的结论, 如有关矩阵秩的不等式;
2. 初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵的关系和应用;
3. 矩阵的逆和矩阵的等价标准形的概念及计算,矩阵可逆的条件及
其与矩阵的秩 和初等矩阵的关系,伴随矩阵概念及性质;
4. 行列式乘积定理;
5.矩阵的转置及相关性质;
6.一些特殊矩阵的常用性质,如,对角阵、三角阵、三对角阵、对
称矩阵、反对称矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵、正交矩阵等;
7. 矩阵的迹、方阵的多项式;
8. 矩阵的常用分解,如等价分解、满秩分解、实可逆矩阵的正交三
角分解、约当 分解;
9.应用矩阵理论解决一些问题。
(五)二次型理论
1. 二次型及其标准形、规范形的概念和计算,惯性定理及其应用;
2.实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判
定条件和应用;
3.实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准
型的求法。
(六)线性空间;
1.线性空间、子空间的定义及性质;
2. 线性空间中一个向量组的秩及计算方法;
3.线性(子)空间的基和维数与向量关于基的坐标,子空间的基扩
充定理,基变 换与坐标变换,生成子空间,子空间的直和,一
些常见的子空间,如线性方程组的解空间,矩阵空间,多项式空
间,函数空间;
4. 子空间的直和、维数公式;
5.线性空间的同构;
6.向量组线性相关或无关及子空间直和等相关结论的综合证明;
(七)线性变换
1. 线性变换定义与运算及其矩阵表示;
2. 矩阵的特征多项式和最小多项式及其有关性质;
3.线性变换及其对应矩阵的特征值和特征向量的概念和计算;
4.线性变换及其矩阵的线性无关特征向量的判别和最大个数及特征
子空间;
5. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质;
6. 矩阵相似的概念及同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关
系;
7. 线性变换的不变子空间、核、值域的概念及关系和计算;
8. 线性变换和矩阵可对角化的概念和条件;
9. Hamilton-Caylay 定理。
(八)λ -矩阵
1.λ -矩阵的初等变换、标准型、行列式因子、不变因子、初等因子
及三种因子之间的关系;
2.矩阵的 Jordan 标准形的存在唯一性定理的证明及其应用。
(九)欧氏空间
1. 内积和欧氏空间的定义及简单性质,如柯西—布涅可夫斯基不等
式、三角不等 式、勾股定理等;
2. 欧氏空间的度量矩阵的概念及性质;
3. 欧氏空间的标准正交基概念及其求法和性质的证明与应用;
4. 正交变换和正交矩阵的等价条件;
5. 对称变换的概念及其简单性质;
6. 实对称矩阵的正交相似对角化定理及其相应正交矩阵和对角矩阵
的求法;
7.线性无关向量组的施密特(Schmidt)正交化方法;
8.Gram 行列式、初等旋转和镜像变换、酉空间和酉变换;
9.正交相似变换和酉相似变换。
参考书目:
1.《高等代数》(第三版) 北京大学数学系 高等教育出版社

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