2018年南京理工大学高等代数考研大纲硕士研究生入学考试初试大纲

《高等代数》考试大纲-南京理工大学
一．复习参考书
《高等代数》第三版。王萼芳，石生明 修订，高等教育出版社，2004.5
二．复习要点
第一章 多项式
1． 掌握数域概念，一元多项式运算法则
2． 掌握带余除法定理，最大公因式概念及求法
3． 掌握不可约多项式概念和因式分解定理
4． 掌握重因式，余数定理，零点定理
5． 掌握复/实系数多项式的因式分解
6． 了解整系数多项式的有理根求法
第二章 行列
1. 掌握排列的逆序数求法和行列式的定义
2. 会用行列式的性质计算行列式的值
3 掌握矩阵的初等变换，并严格区分矩阵与行列式的差别，熟练掌握行列式的计算
4. 掌握 Cramer 法则，齐次线性方程有非零解的条件以及行列式乘法
第三章 线性方程组
1．理解线性方程组的消去法，理解 n 维向量概念及运算
2．掌握向量组的线性相关/无关
3．掌握矩阵秩的概念，会用初等变换求矩阵的秩及向量组的极大线性无关组
4．掌握线性方程组有解的判定：线性方程组无解，有唯一解及有无穷多组解的判定
5．掌握线性方程组解的结构：线性方程组解的判定及解的求法
第四章 矩阵
1．理解矩阵的秩及其逆的概念，掌握矩阵乘积的行列式
2．掌握矩阵的逆的存在及求法，分块矩阵的概念
3．会用初等变换求矩阵的逆，理解初等矩阵的意义及性质
4．分块矩阵的应用
第五章 二次型
1．掌握二次型的矩阵表示，会用合同变换化二次型为标准形
2．掌握复二次型的规范形及实二次型的惯性定理
3．掌握正/负二次型的等价条件及判定定理
4．熟练掌握二次型的规范形/标准形及正/负定二次型的相关定理
第六章 线性空间
1．了解线性/向量空间的定义及其背景
2．掌握维数、基底、坐标的概念
3．掌握基变换与坐标变换公式，子空间的几何意义，若干子空间的例子
4．掌握子空间的交与
5．掌握子空间的直和，直和的维数公式第 1 页
第七章 线性变换
1．掌握线性变换的概念，运算，了解一些线性变换的背景和具体例子
2．掌握线性变换与矩阵的关系，同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵之间的关系
3．掌握特征值，特征向量以及特征空间的概念，会求特征值，特征向量，掌握特征多项式
的性质包括 Hamilton-Cayley 定理
4．掌握矩阵可对角化的条件及方法，线性变换的值域与零空间的概念及性质
5．掌握不变子空间的概念极其重要性质，了解可将线性空间分解为特征空间的直和
6．了解任意矩阵在复数域上都可相似于 Jordan 标准形
第九章 Euclid 空间
1．掌握 Euclid 空间的概念与基本性质
2．掌握标准正交基与同构的概念，掌握 Schimidt 正交化过程
3．掌握若干正交变换的等价定义，知道子空间与正交补及其简单的性质
4．掌握如何用正交矩阵化实对称矩阵为对角形
5．掌握最小二乘法，了解酉空间的定义与性质
第十章 双线性函数与辛空间
1．掌握线性函数与对偶空间的定义及相应定理
2．掌握线性函数与对偶空间的定义及相应定理
3．掌握双线性函数的性质及相应定理
4．了解辛空间