2018年华侨大学813高等代数硕士研究生入学考试试题

华侨大学 2018 年硕士招生考试初试自命题科目试题
（答案必须写在答题纸上）
招生专业 基础数学
科目名称 高等代数 科目代码 813
一、（本题 20 分）
给定线性方程组
1 2
3 4
1 3
2 4
1
1
x x
x x a
x x
x x b
 

 

 
  
，问当 ,a b 满足什么条件时方程组有解？并在有解
时求其通解。
二、（本题 20 分）
设
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
 
 

 
 
 
，求一个正交矩阵 P ，使得 T
P AP   为对角阵。
三、（本题 20 分）
（1）求多项式 3 2
( ) 3 2 2f x x x x    的有理根。
（2）设 ( )g x 是整系数多项式，若 (1), (2)g g 都是奇数，证明： ( )g x 没有整数根。
四、（本题 20 分）
设 ( )n
M F 是 数 域 F 上 n 阶 矩 阵 全 体 构 成 的 线 性 空 间 ， ( )n
A M F ， 记
 [ ] ( ) | ( ) [ ]F A f A f x F x  。
（1） 证明： [ ]F A 是 ( )n
M F 的子空间。
（2） 若
0 1 2
0 0 1
0 0 0
A
 
 

 
 
 
，求 [ ]F A 的一组基与维数。
（3） 设 A 的极小多项式 1
1 1 0
( )
m m
A m
m x x a x a x a


    L ，求 [ ]F A 的一组基
与维数。
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招生专业 基础数学
科目名称 高等代数 科目代码 813
五、（本题 20 分）
设 A 是数域 F 上 n 阶矩阵，定义矩阵空间 ( )n
M F 上的变换： ( )X AX XA   。
（1）证明： 是 ( )n
M F 上的线性变换。
（2）若
1 0
0 2
A
 
  
 
，求 在自然基 11 12 21 22
, , ,E E E E 下的矩阵 B ，并求Im( ) 和 ( )Ker  。
六、（本题 15 分）
证明：任意 n 阶矩阵都可以唯一写成对称矩阵与反对称矩阵之和。
七、（本题 20 分）
设 是数域 F 上 n 维线性空间V 上的线性变换。证明：存在V 上的线性变换
,  ，使得  ，其中 是可逆变换， 2
 = 。
八、（本题 15 分）
设 A 是复数域 £ 上 n 阶矩阵且秩满足 2
( ) ( )r A r A 。证明： A 相似于分块矩阵
B O
O O
 
 
 
，其中 B 是可逆矩阵。
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