2018年湖南师范大学数学基础综合（数学）考研大纲

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码： 考试科目名称：数学基础综合（数学）
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构（各占 25%）
复变函数、空间解析几何、常微分方程、概率论
4)题型结构
A: 填空题：约占 30%
B: 计算题：约占 50%
C: 证明题：约占 20%
二、考试内容与考试要求
一、复变函数
1、复数与复变函数
考试内容
复数、复平面点集以及复变函数
考试要求
(1) 掌握复数及其运算、几何表示；
(2) 了解复平面上的点集、区域、曲线、集与集之间的距离，区域的连通
性等相关概念；
(3) 掌握复变函数的极限和连续。
2、解析函数
考试内容
解析函数的概念与柯西——黎曼条件，初等解析函数
考试要求
(1) 理解解析函数的概念，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件；
(2) 掌握常见的初等函数：幂函数，根式函数，指数函数，三角函数，反
三角函数以及一般幂函数与一般指数函数。
3、复变函数积分
考试内容
复积分的概念及其简单性质，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与
调和函数的关系。
考试要求
(1) 掌握复变函数积分的定义、基本性质以及复变函数积分的计算；
(2) 理解掌握柯西积分定理及其推广（单连通，复连通）；
(3) 熟练掌握柯西积分公式及其推论、解析函数的无穷可微性以及一些相
关重要定理；
(4) 了解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系。
4、解析函数的幂级数表示法
考试内容
复级数的基本性质，幂级数，解析函数的 Taylor 展式，解析函数零点孤
立性和唯一性。
考试要求
(1) 掌握复级数的基本性质；
(2) 掌握 Abel 定理，幂级数的收敛半径求法，和函数的解析性，Taylor
展开式，解析函数的级数展开举例；
(3) 理解掌握解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原
理。
5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点
考试内容
解析函数的洛朗展式，解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷点的性质，
整函数和亚纯函数。
考试要求
(1) 理解罗朗级数与泰勒级数之间的关系，掌握解析函数在孤立奇点邻域
内的洛朗展式；
(2) 掌握可去奇点、极点、本性奇点的定义及判别，理解掌握席瓦尔兹引
理，毕卡定理，
(3) 理解掌握解析函数在无穷远点邻域的性质，整函数与亚纯函数概念及
其简单性质
6、残数理论及其应用
考试内容
留数，用留数定理计算实积分，辐角原理及其应用
考试要求
(1) 掌握留数的概念，留数定理，留数的求法以及无穷远点的残数；
(2) 熟练掌握利用留数定理计算四种主要类型实积分；
(3) 理解对数留数，掌握辐角原理，儒歇定理及其应用。
7、参考书目
钟玉泉.复变函数论（第三版）.高等教育出版社，2003
二、空间解析几何
1、向量代数
向量的基本运算、性质及应用。
考试要求
(1) 理解向量外积和混合积的几何意义，两向量的夹角，一向量在它向量
上的射影。
(2) 掌握标架与坐标，向量的线性关系及其判定，向量的线性运算、内积、
外积、混合积和二重外积。
2、空间的平面与直线
考试内容
平面、直线的各种形式的方程，位置关系及度量关系、平面束。
考试要求
(1) 掌握平面与直线的各种形式方程的互化，点到平面的离差，平面划分
空间问题，三元一次不等式的几何意义，直线的方向角和方向余弦，
直线的射影式方程。
(2) 平面方程与直线方程，平面束，点与平面、点与直线、平面与平面、
平面与直线、直线与直线的位置关系及其判定及度量关系数值特征及
其计算，两异面直线间的公垂线方程。
3、常见的曲面
考试内容
柱面、锥面及旋转曲面的定义与方程，五种典型的二次曲面的定义、方
程、图形与性质，二次直纹曲面。
考试要求
(1) 了解球面坐标和柱面坐标，用平行截割法研究曲面，双曲面的渐近锥
面，作简图。
(2) 理解曲面与曲线方程的概念，曲面与曲线的坐标式方程与参数方程的
互化，空间圆的方程，曲线族生成曲面，直线与球面、平面与球面的
位置关系，母线平行于坐标轴的柱面方程、锥面方程的特点，用析因
式法讨论曲面的直母线。
(3) 掌握球面，柱面，锥面，旋转曲面，椭球面，单叶双曲面和双叶双曲
面，椭圆抛物面和双曲抛物面，单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。
4、二次曲面的一般理论
考试内容
空间直角坐标变换、二次曲面的中心与渐近方向、径面、切线和切平面、
化简与分类及二次曲面的不变量。
考试要求
(1) 了解二次曲面的的不变量，二次曲面外一点处的切锥面，二次曲面的
分类
(2) 理解二次曲面与直线的位置关系，二次曲面方程的化简，平面直角坐
标变换。
(3) 掌握空间直角坐标变换，二次曲面的渐近方向和中心，二次曲面的径
面和奇向，二次曲面的主径面与主方向，二次曲面的切线和切平面。
5、参考书目
《空间解析几何》，李养成编著，科学出版社
三、常微分方程
1、常微分方程的基本概念
考试内容
常微分方程的导出及基本概念
考试要求
(1) 理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念。
(2) 掌握常微分方程定义, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特
解，方程和方程组，定解条件和定解问题。
2、一阶微分方程的初等解法
考试内容
变量分离方程与变量变换、线性方程及常数变易法、恰当方程与积分因子、
一阶隐方程与参数表示
考试要求
(1) 掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理
解齐次、非齐次概念。
(2) 熟练掌握线性方程的常数变易法。
(3) 掌握积分因子法。
(4) 掌握一阶隐方程和贝努利方程的解法。
3、一阶微分方程的解的存在定理
考试内容
解的存在唯一性定理与逐步逼近办法、解的延拓、解对初值的连续性和可
微性定理。
考试要求
(1) 掌握 Picard 逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
(2) 理解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。
4、高阶微分方程
考试内容
线性常微分方程的一般理论、常系数线性方程的解法、高阶方程的讲解和
幂级数解法。
考试要求
(1) 熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程.
(2)掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关
系），以及欧拉方程的解法，了解拉普拉斯变换法。
(3)理解掌握高阶方程的降阶和幂级数解法。
5、线性微分方程组
考试内容
存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。
考试要求
(1)理解存在唯一性定理、掌握线性微分方程组的一般理论。
(2)掌握 Picard 逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数
变易公式。
(3)了解矩阵指数的定义及性质、掌握基解矩阵的计算公式及拉普拉斯变
换的应用。
（4）会用消元法求解常系数线性微分方程组。
6、参考书目
《常微分方程》，王高雄编，高等教育出版社
四、概率论
1、随机事件及其概率
考试内容
事件的概念及其运算，概率的概念及其性质、计算
考试要求
（1） 理解随机事件的概念、概率的定义。
（2） 掌握随机事件的运算法则、概率的性质及其应用。
（3） 理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式；能利用乘法公式
和事件的独立性计算积（交）事件的概率；能利用全概率公式和贝
叶斯公式计算有关的概率问题；理解 n 重独立试验及 n 重贝努里
（Bernoulli）试验的含义，并会利用二项概率公式计算在 n 重贝努
里试验中，事件 A 恰好出现 k 次的概率。
2、随机变量及其分布
考试内容
随机变（向）量的概念、分布与数字特征、随机变量间的独立性
考试要求
（1）理解随机变（向）量的概念；掌握一般随机变（向）量、离散型
随机变（向）量和连续型随机变（向）量的分布的描述方法、性
质及其应用。会应用概率分布计算有关事件的概率。
（2）掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽
玛分布、贝塔分布的概率分布、数学期望和方差；利用切比晓夫
不等式估计有关事件的概率；会求随机变量的简单函数的分布；
求给定分布的其他数字特征。
（3）理解随机变（向）量间的独立性，掌握其判别方法。掌握独立性
的应用。
3、随机变（向）量的数字特征
考试内容
随机变（向）量的数字特征
考试要求
（1） 理解随机变（向）量数字特征的概念；掌握离散型随机变（向）
量和连续型随机变（向）量的数字特征计算方法、性质及其应用。
（2）掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽
玛分布、贝塔分布的概率分布、数学期望和方差；利用切比晓夫
不等式估计有关事件的概率；会求随机变（向）量函数的数字特
征；求给定分布的其他数字特征。
4、大数定律及中心极限定理
考试内容
随机变量序列的依概率收敛、依分布收敛，大数定律、中心极限定理
考试要求
（1） 理解依概率收敛、依分布收敛的概念掌握常用判别方法。
（2） 理解大数定律、中心极限定理的概念，掌握其常用判别方法与应
用，能证明给定的随机变量序列服从大数定理；掌握欣钦大数定
律、马尔科夫大数定律及其应用；掌握林德伯格一列维中心极限
定理（独立同分布的中心极限定理）和德莫佛—拉普拉斯定理（二
项分布以正态分布为极限分布）及一般的独立不同分布中心极限
定理及其应用。
5、参考书：
茆诗松，程依明，濮晓龙，《概率论与数理统计教程》， 高等教育出版社，2004