2018年杭州师范大学817高等代数硕士研究生入学考试试题

杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
2018 年 考试科目代码 817 考试科目名称 高等代数 （本考试科目共 3 页，第 1 页）
杭 州 师 范 大 学
2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 817
考试科目名称： 高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题 15 分，共 150 分
1. 将多项式 1
n
x  分别在实数域与复数域上分解成不可约多项式的乘积。
2. 设 3 2
( ) (1 ) 4 2f x x t x x u     与 3 2
( ) 2g x x tx u   的最大公因式是一个二次
多项式，求 ,t u 的值。
3. 求下列行列式的值：
2
1 1 1
2
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1


  

n
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
  
  
  
。
4. 讨论：当t 取何值时，二次型 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 4 2 10 6f x x x x x x tx x x x x x      是
正定二次型。
5. 已知 1
(7, 10,1,1,1)
T
   ， 2
(6, 8, 2,3,1)
T
    ， 3
(5, 6, 5,5,1)
T
    ，
4
(1, 2,3, 2, 0)
T
    都是线性方程组
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5
0
3 2 3 0
2 2 6 0
5 4 3 3 0
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

    

   
     
①
的解向量。
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（1）求 1 2 3 4
, , ,    的一个极大无关组。
（2）判断（1）中所求得的极大无关组是否是方程组①的一个基础解系；若不是，
将其扩充成方程组①的一个基础解系。
6. 设 A 是 n 阶方阵，证明：
1* n
A A

 （其中 *
A 表示 A 的伴随矩阵）。
7. 设 0 1 -1
, , , n
a a a 是 n 个实数，A 是 n 阶方阵。
0 1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
n n
A
a a a a a 
 
 
 
 
  
 
 
       



    


（1）若  是 A 的特征根，试证 2 1
(1, , , , )
n T
  

 是属于 的特征向量；
（2）若已知 A 有 n 个两两互异的特征根 1 2
, , , n
   ，求可逆阵 P，使得 1
P AP

是
对角阵。
8. 设 为有限维欧氏空间 V 上的正交变换。令
 1
( ) ,V V       2
( )V V      。
证明：（1） 1
V 和 2
V 都是 V 的线性子空间；（2） 1 2
V V V  。
9. 设  2 3
4 0 1 2 3 0 1 2 3
[ ] ( ) | , , ,R x f x a a x a x a x a a a a R      为实数域上次数小于 4 的
多项式构成的向量空间，定义 4
[ ]R x 上二元运算如下
1
1
( ( ), ( )) ( ) ( )f x g x f x g x dx

  ，
证明：
（1）上述二元运算是 4
[ ]R x 上的内积；
（2）求在上述内积下，欧氏空间 4
[ ]R x 的一组规范正交基。
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10. 设 V 是全体 2 阶实方阵构成的向量空间，定义 V 到 V 的映射 ：
( ) ( )x Ax x V    ，其中
a b
A V
c d
 
  
 
。
（1）证明： 是 V 上的线性变换；
（2）当
1 2
2 4
A
 
  
  
时，分别求 的核和像的基和维数。