2018年杭州师范大学725数学分析硕士研究生入学考试试题

杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
2018 年 考试科目代码 725 考试科目名称 数学分析 （本考试科目共 2 页，第 1 页）
杭 州 师 范 大 学
2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 725
考试科目名称： 数学分析
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
一、计算题（每题 15 分，共 75 分）
1、求极限
!
lim
n
n
n
n 
。
2、 3
cosy x x ，求 (50)
y 。
3、设 0x  ，则 n 为何值时， n
x 与
2
0
sin
x
t tdt 是同阶无穷小量。
4、求级数
2
0
(2 1)
!
n
n
n x
n



 的和。
5、计算 2 2 2 2
4x y z R   的内部被 2 2
2Rxx y  所划出的部分的体积。
二、证明题（每题 15 分，共 75 分）
6、设 ( ) 0f x  ， [ , ]ix a b ， 1, 2, ,i n  ，证明： 1
1
1
( )
n
i n
i
i
i
x
f f x
n n


 
 
 
 
  
 


 。
杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
2018 年 考试科目代码 725 考试科目名称 数学分析 （本考试科目共 2 页，第 2 页）
7、若 ( )f x 在[0,1] 上连续，证明：
0 0
(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx 
 
。
8、证明：若 ( )f x 在[0, 2 ]a 上连续，且 (0) (2 )f f a ，则方程 ( ) ( )f x f x a  在[0, ]a
内至少有一个根。
9 、 证 明 ： 空 间 中 一 点 ( , , )a b c 到 平 面 0Ax By Cz D    的 最 短 距 离 是
2 2 2
| |Aa Bb Cc D
A B C
  
 
。
10、证明数列
1
1
n
n
   
  
   
 有极限。