2018年大连交通大学601高等代数考研大纲及样题硕士研究生入学考试试题

2018 年硕士研究生入学考试初试考试大纲
科目代码：601
科目名称：高等代数
适用专业：数学类各专业
考试时间：3 小时
考试方式：笔试
总 分：150 分
考试范围：
一、多项式
1．多项式的带余除法及整除性；
2．多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式；
3. 不可约多项式的判定和性质；
4．多项式函数与多项式的根；
5. 复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。
二、行列式
1．行列式的定义及性质；
2. 行列式按一行（列）展开；
3．运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。
三、 线性方程组
1．线性方程组的求解和讨论；
2．线性方程组有解的判别定理；
3．线性方程组解的结构及其解空间的讨论。
四、 矩阵
1．矩阵的基本运算、矩阵的分块；
2．矩阵的初等变换、初等矩阵；
3. 矩阵的等价、合同、正交相似；
4．逆矩阵、伴随矩阵及其性质；
5．矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩；
6. 运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵；
7. 矩阵的特征值与特征向量，对角化矩阵。
五、 二次型
1．二次型及其矩阵表示；
2. 二次型的标准形与合同变换；
3．C、R、Q 上二次型标准形与规范形；
4．正定二次型及其讨论。
六、 线性空间
1．线性空间、子空间的定义与性质；
2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组；
3. 线性空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换；
4. 生成子空间，子空间的和与直和、维数公式；
七、 线性变换
1．线性变换的定义、性质与运算；
2. 线性变换的矩阵表示；
3．线性变换的核、值域的概念；
4. 线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子
空间；
5．线性变换的不变子空间。
八、 欧式空间
1．内积与欧氏空间的定义及性质，向量的长度、夹角、距离，正交矩阵；
2. 正交子空间与正交补；
3．欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的 Schmidt 正交化方法；
4．正交变换与正交矩阵的等价条件，对称变换的概念与性质；
5．实对称矩阵的正交相似对角化的求法。
样 题 ：
一、（10 分）证明：如果 )()()1(
3
2
3
1
2
xfxfxx  ，那么 )()1(),()1( 21
xfxxfx  。
二、（10 分）设 n 阶行列式
1 3 5 2 3 2 1
1 2 0 0 0
1 0 3 0 0
1 0 0 1 0
1 0 0 0
n
n n
D
n
n
 





     


，
求 n
AAA 11211
  。
三、(10 分) 设 321
,,  为非齐次线性方程组 bAX  的三个解，且 3)( Ar ，
TT
)7,1,0,2(,)1,5,0,2( 321
  ,求 bAX  的通解。
四、(15 分) 设 1 2
, , , s
   为线性方程组 0AX 的一个基础解系，
,,,, 1213221222111
 tttttt ss
  其中 21
,tt 为实常数，试问 21
,tt 满
足什么条件时， s
 ,,, 21
 也为线性方程组 0AX 的一个基础解系。
五、（15 分）设 A 为 mn  实矩阵，证明： )()()()( AArAArArAr
TTT
 。
六、（20 分，每小题各 10 分）
已知二次型 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( , , ) 2 2 2 ( 0)f x x x ax x x bx x b     ，其中二次型矩阵的特征值
之和为 1，特征值之积为-12。
1)求参数 ,a b 及二次型对应矩阵的特征值；
2)求一个正交变换 QYX  ,化二次型 1 2 3
( , , )f x x x 为标准型。
七、（20 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 15 分）
设V 是一个 n 维欧氏空间， 0 是V 中一个固定向量。
1)证明： },0),(|{1
VxxxV   是V 的一个子空间； 2)证明： 1
V 的维数为 1n 。
八、（15 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分）
设V 是数域 P 上 n 维线性空间， 是V 的线性变换， ( ,ae a P e    为V 的恒等
变换 ) ， 2
( ) 4g x x  ，而且 ( ) 0g   。
1)证明： 2 是 的特征值；2)证明： 22 
 VVV 。
九、（15 分）设 1 2
, , , n
   为 n 维欧氏空间V 的一组基。证明：这组基为标准
正交基的充要条件是对于V 中任意向量 都有
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( , )n n
             。
十、（10 分，每小题各 5 分）
已知 1 是矩阵
2 2
5 3
1 1 1
a
A b
 
 

 
   
的特征值。
1)求 ,a b 的值； 2)问矩阵 A 能否对角化？为什么？
十一、（10 分）设 n 阶对称矩阵 nnij
aA 
 )( 是正定矩阵， n
bbb ,,, 21
 是任意n 个
非零实数，证明 nnjiij
bbaB 
 )( 也是正定矩阵。