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2019年黑龙江大学601自命题数学一考研大纲
1 2019 年黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲 考试科目名称:自命题数学一 考试科目代码:[601] 一、考试要求 具有高中代数,平面解析几何,立体几何等基本知识。要求考生掌握一元函数微积分 及其应用;常微分方程;空间解析几何;多元函数微积分及其应用;级数的一般理论及综 合运算能力。 二、考试内容 第一章 函数与极限 §1 映射与函数 集合,映射,函数; §2 数列极限 数列极限的定义,收敛数列的性质; §3 函数的极限 函数的极限的定义,函数极限的性质; §4 无穷小与无穷大 无穷小,无穷大; §5 极限运算法则 §6 极限存在准则,两个重要极限 §7 无穷小的比较 §8 函数的连续性与间断点 函数的连续性,函数的间断点; §9 连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的和、差、积、商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续 性; §10 闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理; 第二章 导数与微分 §1 导数的概念 引例,导数的定义,导数的几何意义,函数可导性与连续性的关系; 2 §2 函数的求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则,反函数的求导法则、复合函数的求导法则,基本 求导法则与导数公式; §3 高阶导数 §4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率; §5 函数的微分 微分的定义,微分的几何意义,基本初等函数的微分公式与微分运算法则,微分在近 似计算中的应用; 第三章 微分中值定理与导数的应用 §1 微分中值定理 Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理; §2 洛必达法则 §3 泰勒公式 §4 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定法,曲线的凹凸性与拐点; §5 函数的极值与最大值最小值 函数的极值及其求法,最大值最小值问题; §6 函数图形的描绘 §7 曲率 弧微分,曲率及其计算公式,曲率圆与曲率半径; §8 方程的近似解 二分法,切线法; 第四章 不定积分 §1 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念,基本积分表,不定积分的性质; §2 换元积分法 第一类换元法,第二类换元法; §3 分部积分法 3 §4 有理函数的积分 有理函数的积分,可化为有理函数的积分举例; §5 积分表的使用 第五章 定积分 §1 定积分的概念与性质 定积分问题举例,定积分定义,定积分的近似计算,定积分的性质; §2 微积分基本公式 变速直线运动中位置函数与 速度函数之间的联系 ,积分上限函数及 其导数, Newton—Leibniz 公式; §3 定积分的换元法和分部积分法 定积分的换元法,定积分的分部积分法; §4 反常积分 无穷限的反常积分,无界函数的反常积分; 第六章 定积分的应用: §1 定积分的元素法 §2 定积分在几何学上的应用 平面图形的面积,体积,平面曲线的弧长; §3 定积分在物理学上的应用 变力沿直线所作的功,水压力,引力; 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2 可分离变量的微分方程 §3 齐次方程 齐次方程; §4 一阶线性微分方程 线性方程; §5 可降阶的高阶微分方程 )( )( xfy n 型微分方程, ),( yxfy 型微分方程, ),( yyfy 型微分方程; 4 §6 高阶线性微分方程 二节线性微分方程举例,线性微分方程的解的结构; §7 常系数齐次线性微分方程 §8 常系数非齐次线性微分方程 )()( xPexf m x 型, ]sin)(cos)([)( xxPnxxPexf l x 型; 第八章 空间解析几何与向量代数 §1 向量及其线性运算 向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的 模、方向角、投影; §2 数量积 向量积 两向量的数量积、两向量的向量积; §3 曲面及其方程 曲面方程的概念,旋转曲面,柱面,二次曲面; §4 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程,空间曲线的参数方程,空间曲线在坐标面上的投影; §5 平面及其方程 平面的点法式方程,平面的一般方程,两平面的夹角; §6 空间直线及其方程 空间直线的一般方程,空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平 面的夹角,杂例; 第九章 多元函数微分法及其应用 §1 多元函数的基本概念 平面点集、多元函数的概念,多元函数的极限,多元函数的连续性; §2 偏导数 偏导数的定义及其计算法,高阶偏导数; §3 全微分 全微分的定义; §4 多元复合函数求导法则 §5 隐函数求导公式 5 一个方程的情形,方程组的情形; §6 多元函数微分学的几何应用 一元向量值函数及其导数,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线; §7 方向导数与梯度 方向导数、梯度; §8 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及最大值、最小值,条件极值,拉格朗日乘数法; 第十章 重积分 §1 二重积分的概念与性质 二重积分的概念,二重积分的性质; §2 二重积分计算法 利用直角坐标系计算二重积分,利用极坐标系计算二重积分; §3 三重积分 三重积分的概念,三重积分的计算; §4 重积分的应用 曲面的面积,质心,转动惯量,引力; 第十一章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质,对弧长的曲线积分的计算法; §2 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念与性质,对坐标的曲线积分的计算法,两类曲线积分之间的 联系; §3 Green(格林)公式及其应用 Green 公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积; §4 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念与性质,对面积的曲面积分的计算法; §5 对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念与性质,对坐标的曲面积分的计算法,两类曲面积分之间的 联系; 6 §6 高斯公式 高斯公式; §7 斯托克斯公式 斯托克斯公式; 第十二章 无穷级数 §1 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念,收敛级数的基本性质; §2 常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法,交错级数及其审敛法,绝对收敛与条件收敛; §3 幂级数 函数项级数的概念,幂级数及其收敛性,幂级数的运算; §4 函数展开成幂级数 §5 函数的幂级数展开式的应用 近似计算、微分方程的幂级数解法、欧拉公式; §7 傅里叶级数 三角级数 三角函数系的正交性,函数展开成傅里叶级数,正弦级数和余弦级数; §8 一般周期函数的傅里叶级数 周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数; 三、试卷结构 1.考试时间:180 分钟 2.试卷分值:150 分 3.题型结构:(1)选择题 (2)填空 (3)大题(包括证明题、计算题) 四、参考书目 《高等数学》(第六版),同济大学数学系,高等教育出版社。 |
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