2020年西北师范大学实变函数考研大纲硕士研究生入学考试大纲
2020年西北师范大学
硕士研究生入学考试 同等学力加试 实变函数 考试大纲 (科目代码:) 学院名称(盖章):数学与统计学院 学院负责人(签字): 编制时间: 2019 年 7 月 2 日 《实变函数》考试大纲 一、 考核概要 实变函数是数学与应用数学的专业课之一。通过本课程的学习,使学生掌握 实变函数的基本理论、基本知识与基本方法,为以后进一步的深入学习其它学科 打下坚实的基础。本课程的具体要求有:掌握集合论的基本理论;初步掌握和了 解测度论的基本知识;熟练掌握可测函数的基本概念和基本性质,初步掌握 lebesgue 积分的理论和方法。 本课程的要求:要求学生能熟练地掌握对等和基数的概念,可数集的定义和 性质,n 维欧氏空间中聚点、内点和界点的定义,开集、闭集、完备集的概念和 性质。初步理解和掌握可测集和不可测集的刻化和基本性质。熟练掌握可测函数 的性质,几乎处处收敛与依测度收敛的关系和基本的推导方法。初步掌握 lebesgue 积分的的性质,能用有关定理极其它与 Riemann 积分的关系去处理一 些简单的问题。 二、 考核要点及要求 第一章集合 1、知识点 集合的概念和运算,对等与基数,可数集合,不可数集合,半序集和曹恩引 理 2、考核要求 1)掌握集合交,并、余等运算和上、下极限的定义和基本运算; 2)熟练掌握集合的对等的定义与性质;能熟练应用伯恩斯坦(Bernstein) 定理证明集合的对等关系; 3)理解基数的定义;掌握可数集与不可数集的性质,会判断给定的集合是 否可数。 第二章 点集 1、 知识点 度量空间(n 维欧氏空间),聚点、内点和界点,开集、闭集、完备集 极其构造 2、考核要求 1) 理解和掌握度量空间的定义,邻域的性质,有界点集的定义和 n 维 区间的体积; 2) 熟练掌握 n 维区间点的关系,聚点、内点和界点的定义聚点与等价 条件; 3) 掌握开核、边界和导集的概念和性质极其相互关系; 4) 理解和掌握开集、闭集和完备集的性质; 5) 理解开集的构成区间与余区间,了解开集、闭集的构造;熟练掌握 康托尔集的构成和性质。 第三章 测度论 1、 知识点 约当测度,Lebesgue 外测度和内测度,可测集 2、考核要求 1)测度的定义和性质; 2)掌握 Lebesgue 外测度和内测度的定义和基本性质; 3)练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。 4) 掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性; 5) 约当测度与 Lebesgue 测度的关系; 6) 解特殊的两类集合,波雷耳集。 第四章可测函数 1、知识点 可测函数及其性质,几乎处处收敛,叶果洛夫定理,可测函数的构造,依 测度收敛 2、考核要求 1)熟练掌握可测函数及其四则运算,可测函数与简单函数的关系,几乎 处处成立的概念; 2)理解叶果洛夫定理; 3)理解并掌握鲁津定理及其逆定理; 4)熟练掌握依测度收敛的定义,几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例,Riese 定理和 Lebesgue 收敛定理 第五章积分论 1、知识点 Riemann 积分,勒贝格积分的定义,勒贝格积分的性质,一般可积函数,积 分的极限定理 2、考核要求 1)了解由确界式定义的 Riemann 积分,及 Riemann 积分的缺陷; 2)理解勒贝格积分的定义,掌握可积的两个充要条件;可积的四则运算,勒贝 格积分与 Riemann 积分的关系; 3)熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性 ; 4)熟练掌握一般可积函数的 L 积分的定义和初等性质。 5)牢记勒贝格控制收敛定理,列维定理,L 逐项积分定理,积分的可数可加性, Fatou 引理及有关积分与求导交换的定理。 三、参考书目 1.《实变函数与泛函分析》,程其襄,张奠宙,胡善文等编,第 3 版,高等教育出版社, 2010.6. 2.《实变函数论》,周民强 编著,北京大学出版社,2001.7
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